P-Pプロット

P-Pプロットでは、2つの累積分布関数(CDF)がプロットされる^[1]。具体的には、累積分布関数がそれぞれ ${\displaystyle F,G}$ であるような2つの確率分布があるとした時、P-Pプロットは媒介変数 ${\displaystyle z\in (-\infty ,\infty )}$を用いたパラメトリック方程式 ${\displaystyle (F(z),G(z))}$を描くことで得られる。CDFの値域が${\displaystyle [0,1]}$であるので、このパラメトリックなグラフの定義域は ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ であり、値域は単位正方形 ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$ である。

従って、ある入力 ${\displaystyle z}$ に対する出力は、確率分布 ${\displaystyle f,g}$ それぞれで ${\displaystyle z}$ 以下の値を得る確率を表す数字のペアである。

P-Pプロットの比較対象は ${\displaystyle (0,0)}$ と ${\displaystyle (1,1)}$ を通る 45° の線分であり、2つの分布はP-Pプロットがこの線上に位置する場合に限り等しい。P-Pプロットとこの線分との乖離によって、2つの確率分布がどの程度異なるかが視覚的にわかりやすく表現される。ただし、現実のデータを用いる場合はサンプリング誤差によって同一の分布からのサンプルであっても必ずしも比較線に一致するとは限らない^[2]。

簡単な例として、2つの連続確率分布の定義域が重ならない状況を考える。ここでは ${\displaystyle F(z)=1}$ を満たす最小の ${\displaystyle z}$ を${\displaystyle z_{m}}$、 ${\displaystyle G(z)=0}$ を満たす最大の ${\displaystyle z}$ を ${\displaystyle z_{M}}$ として、 ${\displaystyle z_{M}>z_{m}}$ が成立しているとしよう。すると、CDFの単調非減少性により、

• ${\displaystyle z\leq z_{m}}$では、${\displaystyle F(z)}$ が ${\displaystyle [0,1]}$ に含まれる任意の値を取れる一方、${\displaystyle G(z)=0}$ が常に成立する
• ${\displaystyle z_{m}<z<z_{M}}$ では、${\displaystyle F(z)=1,G(z)=0}$ が常に成立する
• ${\displaystyle z_{M}\leq z}$ では ${\displaystyle G(z)}$ が ${\displaystyle [0,1]}$ に含まれる任意の値を取れる一方、${\displaystyle F(z)=1}$ が常に成立する

ことがわかるので、これら2つの分布に対してP-Pプロットを描くと、

• ${\displaystyle (0,0)}$ から ${\displaystyle (1,0)}$ までの線分 (${\displaystyle z<z_{m}}$に対応)
• ${\displaystyle (1,0)}$ から ${\displaystyle (1,1)}$ までの線分 (${\displaystyle z>z_{M}}$に対応)

という2本の線分からなるグラフとなる。なお、${\displaystyle z_{m}\leq z\leq z_{M}}$ ではCDFが変化しないのでP-Pプロット上では全て ${\displaystyle (1,0)}$ に対応する。