アメーバ (数学)

ユークリッド空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上に値を持つ 0 を除く複素数 n-組 ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})}$ の集合上に定義され、式

${\displaystyle \mathrm {Log} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=(\log |z_{1}|,\log |z_{2}|,\dots ,\log |z_{n}|).\,}$

により与えられる函数

${\displaystyle \mathrm {Log} \colon \left({\mathbb {C} }\backslash \{0\}\right)^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

を考える。ここに 'log' は、自然対数を表す。p(z) が ${\displaystyle n}$ 変数の多項式であれば、そのアメーバ(amoeba) ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$ は p の零点の集合の Log による像として定義される。

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}=\left\{\operatorname {Log} z\,:\,z\in \left({\mathbb {C} }\backslash \{0\}\right)^{n},p(z)=0\right\}.\,}$

アメーバは 1994年、イズライル・ゲルファント(Israel Gelfand)、カプラノフ(Kapranov)、アンドレイ・ゼレヴィンスキー（英語版）(Andrei Zelevinsky)の書籍^[1]で導入された。

• アメーバは閉集合である。
• 補空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\backslash {\mathcal {A}}_{p}}$ の連結成分は、凸である^[2]。
• 2変数の恒等的に 0 ではない多項式のアメーバの面積は、有限である。
• 2次元のアメーバは、多くの「触手」を持ち、触手は無限に長く、無限遠点では指数的に狭くなる。

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アメーバを研究する有効なツールが、ロンキン函数(Ronkin function)である。n （複素）変数の多項式 p(z) に対し、式

${\displaystyle N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\mathrm {Log} ^{-1}(x)}\log |p(z)|\,{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\wedge {\frac {dz_{2}}{z_{2}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {dz_{n}}{z_{n}}},}$

により、ロンキン函数を、

${\displaystyle N_{p}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

と定義する。ここに ${\displaystyle x}$ は ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$ を表す。同じことであるが、${\displaystyle N_{p}}$ は積分

${\displaystyle N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{[0,2\pi ]^{n}}\log |p(z)|\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n},}$

により与えられる。ここに

${\displaystyle z=\left(e^{x_{1}+i\theta _{1}},e^{x_{2}+i\theta _{2}},\dots ,e^{x_{n}+i\theta _{n}}\right)}$

とする。ロンキン函数は凸函数であり、${\displaystyle p(z)}$ のアメーバの補集合の各々の連結成分上ではアフィン（英語版）(affine)である^[3]。

例として、${\displaystyle a\neq 0}$ である単項式

${\displaystyle p(z)=az_{1}^{k_{1}}z_{2}^{k_{2}}\dots z_{n}^{k_{n}}}$

のロンキン函数は、

${\displaystyle N_{p}(x)=\log |a|+k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+\cdots +k_{n}x_{n}}$

である。