イーガン予想

任意の三角形（2次元単体）は内接円と外接円（1次元球面）を持つ。それぞれの半径を${\displaystyle r,R}$、また内心と外心の距離を${\displaystyle d}$とすると、オイラーの定理によれば次の式が成立する。

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$,

1746年にチャップル、1765年にオイラーがそれぞれ独自に証明した^[2][3]。逆に、上の式を満たす2円はそれぞれを内接円、外接円とする三角形を持つ。

2つの球面（2次元球面）の半径をそれぞれ${\displaystyle r,R\ (r<R)}$、中心の距離を${\displaystyle d}$とする。グレース＝ダニエルソン不等式によれば、半径${\displaystyle R}$の球面に完全に含まれ、半径${\displaystyle r}$の球面を完全に囲む、非正単体の三角錐（3次元単体）をもつ必要十分条件は次の式で表される。

${\displaystyle d^{2}\leq (R+r)(R-3r)}$.

この結果は1917年にジョン・ヒルトン・グレース、1949年にG・ダニエルソンによって独自に証明された^[4][5][6]。アンソニー・ミルンはグレース＝ダニエルソン不等式と量子情報理論の関連性について述べた^[7]。

n次元ユークリッド空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（${\displaystyle n\geq 2}$）上の、半径が${\displaystyle r,R\ (r<R)}$である${\displaystyle n-1}$球面について、半径${\displaystyle R}$の球面に完全に含まれ、半径${\displaystyle r}$の球面を完全に囲むn次元単体が存在する必要十分条件は次の式で表される。

${\displaystyle d^{2}\leq (R+(n-2)r)(R-nr)}$.

この予想は2014年にグレッグ・イーガンに提案された^[8]。

${\displaystyle n=1}$の場合でも、${\displaystyle d\leq R-r}$となり明らかに式は成り立つ。0次元球面は単に点、1次元単体は単に区間（線分）となるため、2点間の区間を選べばよいためである。

この定理はn次元におけるオイラーの不等式を含んでいる。