ウリゾーン空間と完全ハウスドルフ空間

以下、X を位相空間、x,yをX上の点とする。

• xとyが閉近傍で分離可能とはxの閉近傍Uとyの閉近傍Vが存在してUとVが交わらない(U ∩ V = ∅)こと。 (ただし"xの閉近傍"はxを含む開集合を包含する閉集合を意味する。)
• xとyが写像で分離可能とはf(x) = 0かつf(y) = 1を満たす連続写像 f : X → [0,1] (単位区間)が存在すること。.

ウリゾーン空間またはT_2½空間とは空間内の任意の異なる二点が閉近傍で分離可能な位相空間のことである。

完全ハウスドルフ空間または写像的にハウスドルフ空間とは、空間内の任意の異なる二点が連続写像で分離可能な位相空間のことである。

分離公理の研究は使用されている命名規則との衝突で悪名高い。この記事の定義はWillard (1970)によって定義されたもので、より現代的な定義である。Steen, Seebach (1970)などウリゾーン空間と完全ハウスドルフ空間を逆に定義するものもいる。 この問題については分離公理の歴史を参照せよ。

写像で分離可能な二点は閉近傍でも分離可能である。もし二点が閉近傍で分離可能なら明らかに近傍でも分離可能である。すなわち完全ハウスドルフ空間はウリゾーンであり、ウリゾーン空間はハウスドルフ空間である。

また、正則ハウスドルフ空間はウリゾーンでありチホノフ空間は(=完全正則ハウスドルフ空間)完全ハウスドルフである。これらをまとめると以下のようになる:

チホノフ空間 (T3½)	${\displaystyle \Rightarrow }$	正則ハウスドルフ空間 (T3)
${\displaystyle \Downarrow }$		${\displaystyle \Downarrow }$
完全ハウスドルフ空間	${\displaystyle \Rightarrow }$	ウリゾーン空間 (T2½)	${\displaystyle \Rightarrow }$	ハウスドルフ空間 (T2)	${\displaystyle \Rightarrow }$	T1

矢印の向きを逆にした際の反例は容易に見つけることができる。^[1]