オイラーのコマ

無重力状態で放られた剛体の回転運動や、重心で支えられた剛体の自由回転運動 など、外力が働かない剛体の運動をオイラーのコマと呼ぶ。 外力が作用しない場合、剛体の運動を記述するオイラー方程式は、

${\displaystyle I_{1}{\frac {d\omega _{1}}{dt}}=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3}}$

${\displaystyle I_{2}{\frac {d\omega _{2}}{dt}}=(I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1}}$

${\displaystyle I_{3}{\frac {d\omega _{3}}{dt}}=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}}$

で与えられる。 但し、座標原点は剛体の固定点もしくは、剛体の重心位置とし、各座標は慣性主軸方向に一致させるものとする。 ここで、定数I₁、I₂、I₃ は主慣性モーメントである。

オイラーのコマでは、運動エネルギーE と全角運動量の大きさL²が系の保存量となる。

${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{\,2}+I_{2}\omega _{2}^{\,2}+I_{3}\omega _{3}^{\,2})\\\mathbf {L} ^{2}&=I_{1}^{\,2}\omega _{1}^{\,2}+I_{2}^{\,2}\omega _{2}^{\,2}+I_{3}^{\,2}\omega _{3}^{\,2}\end{aligned}}}$

運動エネルギーE と全角運動量の大きさL²を指定することで定まる等エネルギー面と等角運動量面は、(ω₁, ω₂, ω₃)空間における2つの楕円面を成しており、運動の軌道はそれらの交わりによって定められる曲線となる。

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オイラーのコマは可積分な系の一つであり、その解は楕円関数で記述できる^[1]。

I₁<I₂<I₃の場合

慣性モーメントにI₁<I₂<I₃ の関係が成り立つとき、運動の解はヤコビの楕円関数を用いて、

${\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {\frac {2EI_{3}-\mathbf {L} ^{2}}{I_{1}(I_{3}-I_{1})}}}\operatorname {cn} (\lambda t,k)}$

${\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {\frac {2EI_{3}-\mathbf {L} ^{2}}{I_{2}(I_{3}-I_{2})}}}\operatorname {sn} (\lambda t,k)}$

${\displaystyle \omega _{3}={\sqrt {\frac {\mathbf {L} ^{2}-2EI_{1}}{I_{3}(I_{3}-I_{1})}}}\operatorname {dn} (\lambda t,k)}$

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {(I_{2}-I_{1})(2EI_{3}-\mathbf {L} ^{2})}{(I_{3}-I_{2})(\mathbf {L} ^{2}-2EI_{1})}}}}$

と表される。ここで、λは

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {(\mathbf {L} ^{2}-2EI_{1})(I_{3}-I_{2})}{I_{1}I_{2}I_{3}}}}}$

で与えられる定数であり、時間tはt=0でω₂=0となるように取り直している。

これらは次の周期T を持つ周期運動である。

${\displaystyle T={\frac {4K}{\lambda }}}$

但し、K=K(k)は第一種完全楕円積分である。

I₁=I₂<I₃の場合

慣性モーメントにI₁=I₂<I₃ の関係が成り立つとき、運動の解は

${\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {\frac {2EI_{3}-\mathbf {L} ^{2}}{I_{1}(I_{3}-I_{1})}}}\cos {(\lambda t)}\,}$

${\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {\frac {2EI_{3}-\mathbf {L} ^{2}}{I_{1}(I_{3}-I_{1})}}}\sin {(\lambda t)}\,}$

${\displaystyle \omega _{3}={\frac {I_{1}}{I_{3}-I_{1}}}\lambda =\operatorname {const.} }$

となる。