カオスの縁

1980年代初頭からスティーブン・ウルフラムは1次元セル・オートマトンのルール（遷移関数）ごとの挙動を調査し、その挙動を以下のように4つにクラス分けした^[6][7]。

• クラスI：均一な一定状態に漸近する挙動
• クラスII：周期的な状態に漸近する挙動
• クラスIII：ランダムな状態を維持する挙動
• クラスIV：他のクラスほど厳密に定義されないが、上記の3クラスに当てはまらない挙動

ウルフラムはクラスIからIIIまでに対し、力学系の挙動とアナロジー的に該当するものを当て嵌めている^[8]。

• クラスI：安定不動点
• クラスII：リミットサイクル
• クラスIII：カオス

ウルフラムによればクラスIVについては該当する力学系の挙動が存在しない^[9]。クラスIVでは非常に複雑な挙動が起こる。いくつかの局所的な構造が生み出され、それらはセル空間内を移動し、相互作用を起こし合う^[10]。また、ある初期値では全て一定状態に漸近したり、別の初期値では周期的状態に漸近したり、ランダム状態を維持したりなどの変化も見せる^[9]。以下の図はウルフラムのルール番号によってルール110と呼ばれるルールを採用したときのセル・オートマトンの挙動（時間発展）を示している。初期配置は黒一点のみが存在する場合である。クラスIVに分類される^[1]。

クリストファー・ラングトンはクラスIVについてさらに調べるために、次のようなパラメータを導入した^[11]。

${\displaystyle \lambda ={\frac {k^{\rho }-n_{q}}{k^{\rho }}}}$

ここで、k は状態数、 ρ は近傍数を意味し、k^ρ は可能な近傍の状態数となる^[12]。状態数 k の内の任意な一つの状態 q を「静止状態」と呼ぶとする^[13]。n_q は k^ρ の内の次の時刻に静止状態（すなわち q ）となる数を示す^[12]。λ は静止状態とならない割合を示しており、一般には λ パラメータなどと呼ばれる^[11]。あるいは、ラングトン自身は λ パラメータのことを「あるレベルの挙動の複雑さに関連する統計量」と位置づけている^[14]。

n_q の最小から最大までの範囲は、0 ≤ n_q ≤ k^ρ なので、λ の範囲は 0 ≤ λ ≤ 1 となる。ラングトンによれば、λ = 0 で最少である複雑性は、λ の増加とともにも複雑性も増加し、λ がある値となったところで極大となり、その後は複雑性は減少していき、λ = 1 でまた最少となる^[15]。複雑性が極大となる臨界値は λ_c で表される。ウルフラムのクラスと一緒にまとめると、挙動とクラスと λ パラメータは以下のような関係の下に変化する^[13][16]。

挙動：	不動点		周期的		"複雑"		カオス0
ウルフラムのクラス：	クラス I	⇒	クラスII	⇒	クラスIV	⇒	クラスIII0
λ パラメータ：	0				λc

ただし、上記の区分は k や ρ が大きな値のときは良く機能するが、小さいときはあまりうまく働かない^[16][17]。

このように、クラスIVはカオス的・ランダム的振る舞いと秩序的・静的振る舞いの境界に存在し、この領域を「カオスの縁」と呼ぶ^[18][19]。