カルノーの定理 (円錐曲線)

カルノーの定理（カルノーのていり、英: Carnot's theorem, Carnot theorem）は、ラザール・カルノー^[1]にちなんで名付けられた定理の一つである^[2]。

カルノーの定理 ― 三角形 $ABC$ について、 $AB$ 上の点 $C a, C b$ 、 $BC$ 上の点 $A b, A c$ 、 $CA$ 上の点 $B c, B a$ の六点が同一円錐曲線上にあることと、以下の式が成り立つことは同値である：

${\frac {|AC_{A}|}{|BC_{A}|}}\cdot {\frac {|AC_{B}|}{|BC_{B}|}}\cdot {\frac {|BA_{B}|}{|CA_{B}|}}\cdot {\frac {|BA_{C}|}{|CA_{C}|}}\cdot {\frac {|CB_{C}|}{|AB_{C}|}}\cdot {\frac {|CB_{A}|}{|AB_{A}|}}=1.$

関連する定理

$A b, A c, B c, B a, C a, C b$ が同一円錐曲線上にあるならば、 $AA b, AA c, BB c, BB a, CC a, CC b$ に接する円錐曲線が存在する（ブラッドリーの定理、Bradley's theorem）^[3]。

それぞれ $B a C a, C b A b, A c,B c$ と $BC, CA, AB$ の交点は共線である（パスカルの定理）。

一般に、 $m$ 個の点 $P 1, P 2, P 3, ..., P m$ について、それぞれ直線 $P i P i +1$ 上の $n$ 個の点 $A i 1, A i 2, ..., A in$ 、計 $mn$ 個の点が $n$ 次代数曲線上にあるとき、次の式が成り立つ^[4]。

$\prod _{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}{\dfrac {P_{i}A_{ij}}{A_{ij}P_{i+1}}}=(-1)^{mn}$

ただし $P m +1 = P 1$ とする。 $2 < n$ の場合、逆が成立するとは限らない。すなわち、 $mn$ 個の点を通る代数曲線が一意に決定するとは限らない。 $m = 3$ として $n = 1, 2$ のとき、それぞれメネラウスの定理、カルノーの定理である。 $m$ 個の点は平面上に無くともよい、すなわちユークリッド空間の点と代数曲面へ拡張できる^[5]。

カルノーの定理 (円錐曲線)

関連する定理

脚注

参考文献

関連項目

外部リンク

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