カルレソンの定理

ハントによって拡張された結果は、形式的に以下のように述べられる。

${\displaystyle f}$ をある ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ に対する ${\displaystyle L^{p}}$ 周期関数とし、そのフーリエ係数を ${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$ とする。このとき、

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e^{inx}=f(x)}$$

がほとんど至る所の ${\displaystyle x}$ に対して成立する。

フーリエ積分に関する類似の結果は以下の通りである。

ある ${\displaystyle p\in (1,2]}$ に対して ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ とし、そのフーリエ変換を ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ とする。このとき、

$${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{|\xi |\leq R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =f(x)}$$

がほとんど至る所の ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ に対して成立する。

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19世紀初頭、ジョゼフ・フーリエ自身によって提起されたフーリエ級数に関する根本的な問いは、「連続関数のフーリエ級数が、元の関数に各点収束するか」というものであった。

連続性の仮定をわずかに強めることで、フーリエ級数が至る所収束することを容易に示すことができる。例えば、関数が有界変動であれば、そのフーリエ級数は関数の局所平均へと至る所収束する。特に、関数が連続的微分可能であれば、そのフーリエ級数は至る所収束する。これはペーター・グスタフ・ディリクレによって証明され、彼は間もなくこの結果をすべての連続関数に拡張できるだろうとの信念を表明した。また、収束方法を変更することでも至る所収束を得ることができる。例えば、フェイェールの定理は、通常の和をチェザロ和に置き換えれば、任意の連続関数のフーリエ級数は元の関数に一様収束することを示している。さらに、任意の ${\displaystyle L^{2}}$ 関数のフーリエ級数が ${\displaystyle L^{2}}$ ノルムの意味で収束することを示すのは容易である。

ディリクレの結果の後、ディリクレ、リーマン、ワイエルシュトラス、デデキントを含む数多くの専門家が、任意の連続関数のフーリエ級数は至る所収束すると信じていた。しかし、これは1876年にパウル・デュ・ボア＝レイモンによって否定された。彼はフーリエ級数がある一点で発散する連続関数の例を示した。

${\displaystyle L^{2}}$ 関数に対するフーリエ級数のほとんど至る所収束は、ニコライ・ルージンによって仮定され、カールソンによる証明までは「ルージンの予想」として知られていた^[3]。アンドレイ・コルモゴロフは1923年、ルージンの予想の ${\displaystyle L^{1}}$ における類似は偽であることを示し、フーリエ級数がほとんど至る所発散するような関数の例を発見した（1926年には、至る所発散する例へと改良された）^[4]。

カールソンの結果以前において、${\displaystyle L^{p}}$ 関数のフーリエ級数の部分和 ${\displaystyle s_{n}}$ に関する最良の推定値は、ほとんど至る所で

$${\displaystyle s_{n}(x)=o(\log(n)^{1/p})}$$

であるというものであった。この結果は ${\displaystyle p=2}$ のときコルモゴロフ＝セリベルストフ＝プレスネルによって、${\displaystyle p=1}$ のときG. H. ハーディによって、そして ${\displaystyle p>1}$ のときリトルウッド＝ペイリーによって証明された^[5]。この結果が数十年間にわたり改善されなかったため、一部の専門家はこれが最良の推定であり、ルージンの予想は偽であると疑うようになった。

カールソンは2007年のインタビューで、当初は連続的な反例を見つけようとしていたが、ある時点で自分のアプローチでは不可能なことに気づき、代わりに予想の証明を試みるようになったと語っている^[6]。カールソンの元の証明は極めて難解であり、数々の簡略化の試みがなされてきたが、依然としてこの定理の「容易な」証明は存在しない。2025年にはLean4によって形式化が行われた。

イツハク・カッツネルソンは1966年、任意の零集合に対して、その集合のすべての点（およびそれ以外の点）でフーリエ級数が発散するような連続周期関数が存在することを示した^[7]。これとカールソンの定理を組み合わせることで、「フーリエ級数がある実数集合上のすべての点で発散する連続関数が存在するための必要十分条件は、その集合が零集合であることである」ことが示される。

カールソン作用素 ${\displaystyle C}$ は、以下の式で定義される非線形作用素である。

$${\displaystyle Cf(x)=\sup _{N}\left|\int _{-N}^{N}{\hat {f}}(y)e^{2\pi ixy}\,dy\right|}$$

カールソン＝ハントの定理は、カールソン作用素が ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ から自身への有界作用素（${\displaystyle 1<p<\infty }$）であることを示すことと同値である。カールソンが実際に証明したのは、この作用素の有界性であった。