クザンの定理

有界閉区間 ${\displaystyle I=[a,b]}$ の点付き分割とは、次を満たす点列 ${\displaystyle \{x_{i}\mid i\leq n\}}$ と ${\displaystyle \{\xi _{i}\mid i<n\}}$ からなる：

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b}$

${\displaystyle x_{i}\leq \xi _{i}\leq x_{i+1}}$

また ${\displaystyle I}$ 上のゲージ ${\displaystyle \delta }$ とは ${\displaystyle I}$ 上定義された正の実数値を取る関数をいう。点付き分割が ${\displaystyle \delta }$-細であるとは、任意の ${\displaystyle i<n}$ に対して ${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}\leq \delta (\xi _{i})}$ が成り立つことをいう。

いま有界閉区間 ${\displaystyle I}$ とその上のゲージ ${\displaystyle \delta }$ が与えられたものとする。このとき ${\displaystyle I}$ の ${\displaystyle \delta }$-細な点付き分割が存在することを示そう。

各 ${\displaystyle \xi \in I}$ を中心とし長さ ${\displaystyle \delta (\xi )}$ の開区間を ${\displaystyle I_{\xi }}$ と書く。すると ${\displaystyle \{I_{\xi }|\xi \in I\}}$ は ${\displaystyle I}$ の開被覆を成す。ハイネ・ボレルの被覆定理より ${\displaystyle I}$ はコンパクトであるから、先の被覆から有限部分被覆 ${\displaystyle \{I_{\xi }\mid \xi \in J\}}$ を取ることができる。ここで ${\displaystyle J\subseteq I}$ は有限である。そこで点列 ${\displaystyle \{\xi _{i}|i<n\}}$ を次のように再帰的に定義する：

${\displaystyle \xi _{0}=\min J}$

${\displaystyle \xi _{i+1}=\min\{\xi \in J\mid \xi _{i}<\xi {\text{ and }}\xi _{i}+\delta (\xi _{i})/2\in I_{\xi }\}}$

${\displaystyle b\in I_{\xi _{i}}}$ となったら構成を終える。

各 ${\displaystyle 0<i<n}$ に対し、${\displaystyle \xi _{i-1}+\delta (\xi _{i-1})/2\in I_{\xi _{i}}}$ であって、${\displaystyle I_{\xi _{i}}}$ は開集合であるから、${\displaystyle I_{\xi _{i-1}}}$ と ${\displaystyle I_{\xi _{i}}}$ は${\displaystyle (\xi _{i-1},\xi _{i})}$ のどこかで交わる。そこで ${\displaystyle x_{i}}$ を ${\displaystyle \xi _{i-1}<x_{i}<\xi _{i}}$ かつ ${\displaystyle x_{i}\in I_{\xi _{i-1}}\cap I_{\xi _{i}}}$ となるように選択する。また ${\displaystyle x_{0}=a,\ x_{n}=b}$ とおく。すると ${\displaystyle x_{i},\xi _{i}}$ は ${\displaystyle I}$ の点付き分割を成す。また、各 ${\displaystyle i<n}$ に対して、${\displaystyle x_{i},x_{i+1}\in I_{\xi _{i}}}$ ゆえ、${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}<\delta (\xi _{i})}$ が成り立つ。すなわち ${\displaystyle x_{i},\xi _{i}}$ は ${\displaystyle \delta }$-細である。