Summarize Timeline Top Qs Fact Check クライン–仁科の公式が導かれる以前にも、電子 の発見者でもあるイギリス の物理学者のJ. J. トムソン によって、古典的 な力学 及び電磁気学 であるニュートン力学 と古典電磁気学 に基づいた散乱断面積の式（トムソンの公式）が導かれていたが、散乱実験の結果はトムソンの公式では説明が不可能な程の大きなずれを有していた。これは、短波長 領域では当時まだ知られていなかったコンプトン散乱がトムソン散乱に比して強くなる為であるが、1923年 にアメリカ の物理学者であるアーサー・コンプトン によってコンプトン効果による波長のずれを求める公式が示され、後にその公式を考慮に入れて散乱断面積を計算した結果、実験の結果と完全に一致する公式となるクライン–仁科の公式が導かれる事となった。
入射光子 の波長を λ λ 'θ 方向 への微分断面積 は
d
σ
d
Ω
=
(
α
2
π
)
2
λ
e
2
2
(
λ
λ
′
)
2
[
λ
λ
′
+
λ
′
λ
−
sin
2
θ
]
{\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=\left({\frac {\alpha }{2\pi }}\right)^{2}{\frac {{\lambda _{\text{e}}}^{2}}{2}}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-\sin ^{2}\theta \right]}
で与えられる。但し、α 微細構造定数 、λ e コンプトン波長 で、それぞれ真空の誘電率 ε 0 真空 中の光速 c や電気素量 e 及び電子の質量 m e プランク定数 h やディラック定数 ħ
α
=
e
2
4
π
ε
0
ℏ
c
,
λ
e
=
h
m
e
c
{\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}},~\lambda _{\text{e}}={\frac {h}{m_{\text{e}}c}}}
と定義 される物理定数 である。コンプトン効果により、散乱光子の波長は入射光子の波長と散乱角によって決まり
λ
′
=
λ
+
λ
e
(
1
−
cos
θ
)
{\displaystyle \lambda '=\lambda +\lambda _{\text{e}}(1-\cos \theta )}
となる。
長波長領域 λ ≫ λ e λ '/ λ → 1
d
σ
d
Ω
=
(
α
2
π
)
2
λ
e
2
2
(
1
+
cos
2
θ
)
{\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=\left({\frac {\alpha }{2\pi }}\right)^{2}{\frac {{\lambda _{\text{e}}}^{2}}{2}}(1+\cos ^{2}\theta )}
となる。また、古典電子半径 r e
r
e
=
α
λ
e
2
π
{\displaystyle r_{\text{e}}={\frac {\alpha \lambda _{\text{e}}}{2\pi }}}
と定義してクライン–仁科の公式を表せば
d
σ
d
Ω
=
r
e
2
2
(
1
+
cos
2
θ
)
{\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {{r_{\text{e}}}^{2}}{2}}(1+\cos ^{2}\theta )}
となってトムソンの公式が得られる。
![{\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=\left({\frac {\alpha }{2\pi }}\right)^{2}{\frac {{\lambda _{\text{e}}}^{2}}{2}}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-\sin ^{2}\theta \right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625063dd802963664c6c442f7d736e5dd8f6944b)
