クルル・シュミットの定理

群に対して

群 ${\displaystyle G\ }$ に主組成列が存在すれば、${\displaystyle G\ }$ は有限個の直既約群の直積に分解される (ただし、${\displaystyle G\ }$ 自身が直既約群である場合も有り得るものとする)。

この直既約分解は順序と同型を除いて一意的である。もっと精密に言えば、二通りの直既約分解

${\displaystyle G=H_{1}\times \cdots \times H_{n}=K_{1}\times \cdots \times K_{m}}$

があれば ${\displaystyle n=m}$ であり、ある ${\displaystyle m}$ 次の置換 ${\displaystyle \sigma }$ が存在して、任意の直積因子 ${\displaystyle H_{1},\dotsc ,H_{r}}$（${\displaystyle 1\leq r\leq n}$）に対して、ある群 ${\displaystyle G}$ の（すべての内部自己同型写像と可換な）自己同型写像 ${\displaystyle f}$ が存在して、

${\displaystyle f(H_{i})=K_{\sigma (i)}\qquad (1\leq i\leq r)}$

かつ任意の ${\displaystyle r<i\leq n}$ について ${\displaystyle f}$ は ${\displaystyle H_{i}}$ に恒等写像として作用する^[5][6]。特に、

${\displaystyle G=K_{\sigma (1)}\times \dotsb \times K_{\sigma (r)}\times H_{r+1}\times \dotsb \times H_{n}\qquad (1\leq r\leq n)}$

が成り立つ。

加群に対して

加群 V が V = V₁ ⊕ … ⊕ V_n = W₁ ⊕ … ⊕ W_m と直既約分解されており、かつ各 V_iの自己準同型環が局所環であるとき、次が成り立つ^[2]。

• n = m
• 置換 σ ∈ S_n が存在して、以下の条件を満たす
  • V_i ≅ W_σ(i)
  • 任意の 1 ≤ r < n に対して V = W_σ(1) ⊕ … ⊕ W_σ(r) ⊕ V_r+1 ⊕ … ⊕ V_n

しばしば最後の主張は言及されない。