クロネッカーの定理

この定理は、ある体 F の元を係数に持つ定数ではない多項式 p(x) ∈ F[x] が、拡大体 ${\displaystyle E\supset F}$ に根を持つことを主張する^[1]。

たとえば、x² + 1 = 0 のような実数係数の多項式は、複素数である 2つの根を持つ。

クロネッカーは元々有理数以外の数の存在を認めていなかったものの、この定理は普通クロネッカーの業績とされている^[2]。また、この定理によって多くの集合に対する有用な構成（英語版）(construction)が与えられる。

クロネッカーの定理は、ディオファントス近似を 1 ≤ i ≤ N とした複数の実数 x_i へ適用した結果としても表現され、これはディリクレの近似定理を多変数へと一般化した定理である。

古典的なクロネッカーの近似定理は、次のように定式化される。実数 ${\displaystyle \alpha _{i}=(\alpha _{i1},\cdots ,\alpha _{in})\in \mathbb {R} ^{n},i=1,\cdots ,m}$ と ${\displaystyle \beta _{j}=(\beta _{1},\cdots ,\beta _{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ が与えられると、すべての小さな ${\displaystyle \epsilon >0}$ に対し、整数 ${\displaystyle p_{i}}$ と ${\displaystyle q_{j}}$ が存在し、 $${\displaystyle {\biggl |}\sum _{i=1}^{m}q_{i}\alpha _{ij}-p_{j}-\beta _{j}{\biggr |}<\epsilon ,\ \ \ \ 1\leq j\leq n,}$$ が成り立つことと、 $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\alpha _{ij}r_{j}\in \mathbb {Z} ,\ \ i=1,\dots ,m\ ,}$$ であるすべての ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}\in \mathbb {Z} ,\ i=1,\dots ,m}$ に対し、数 ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\beta _{j}r_{j}}$ が再び整数となることとは同値である。

クロネッカーの近似定理は、19世紀の終わりにレオポルト・クロネッカーにより最初に証明された。20世紀後半以降、n次元トーラスやマーラー測度の考え方と関係していることが明らかとなっている。 力学系の言葉では、クロネッカーの定理は、惑星の周期に（互いの間の引力相互作用による）依存関係が存在しないとすれば、恒星の周りを円軌道を描いて回る惑星は、時間を経てすべてが整列することを意味する。