グモウスキー・ミラの写像

離散力学系とは、n を整数の時間として、n 番目の状態 x_n がその手前の n−1 番目の状態 x_n−1 によって一意に決まる法則が与えられた系である^[2]。二次元の系とは、x と y の組 (x, y) = x を一つの状態とする系である。x_n とx_n+1 の関係を定めた関数を、力学系の話の中では単に写像ともいう^[3]。グモウスキー・ミラの写像として紹介される写像はまちまちだが、次の2つの形の写像 f₁ と f₂ がグモウスキーとミラによって発表されたものである^[4]。

${\displaystyle f_{1}={\begin{cases}x_{n+1}=y_{n}+g(x_{n})\\y_{n+1}=-x_{n}+g(x_{n+1})\end{cases}}}$

${\displaystyle f_{2}={\begin{cases}x_{n+1}=y_{n}+\alpha y_{n}(1-\sigma y_{n}^{2})+g(x_{n})\\y_{n+1}=-x_{n}+g(x_{n+1})\end{cases}}}$

α と σ はパラメータ（定数係数）である。写像 f₁ のヤコビアンは 1 で保存系に相当する。f₂ では αy_n(1 − σy_n) という項が追加されており、これが減衰を発揮し、f₂ は散逸系に相当する。α が小さければ、保存系に近い準保存系といえる^[4]。

g(x) はグモウスキーとミラが「有界非線形性 (bounded nonlinerity)」と呼んだ項で、次の2つの形で与えた^[5]。

${\displaystyle g_{1}(x)=\mu x+{\frac {2(1-\mu )x^{2}}{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle g_{2}(x)=\mu x+(1-\mu )x^{2}\exp({\frac {1-x^{2}}{4}})}$

μ はパラメータで、グモウスキーとミラは −1 ≤ μ ≤ 1 の範囲で与えた。 μ の値が 1 より小さくなるほど写像の非線形性が強くなる^[5]。

特に、f₂ と g₁ が組み合わされた

${\displaystyle {\begin{cases}x_{n+1}=y_{n}+\alpha y_{n}(1-\sigma y_{n}^{2})+\mu x_{n}+{\dfrac {2(1-\mu )x_{n}^{2}}{1+x_{n}^{2}}}\\y_{n+1}=-x_{n}+\mu x_{n+1}+{\dfrac {2(1-\mu )x_{n+1}^{2}}{1+x_{n+1}^{2}}}\end{cases}}}$

という形の写像が「グモウスキー・ミラの写像」として紹介されることが多い^{[6][7][8][9][10]}。

グモウスキーは1960年代から70年代にかけてジュネーブの欧州原子核研究機構で、加速器と蓄積リングにおける不安定性を研究していた。加速器あるいは蓄積リング内での粒子の横方向の運動を表現するためのモデルとして、グモウスキーとミラは保存系の写像 f₁ ならびに非線形項 g₁ と g₂ を導入した^[5]。準保存系 f₂ とともに、グモウスキーとミラの1980年の著作にてこれらの写像とその計算結果が記された^[4]。

適当な初期条件 x₀ = (x₀, y₀) を与え、写像を繰り返し適用することで離散力学系は (x₀, x₁, x₂,...)という軌道を作る^[3]。軌道は相平面（x-y平面）上で点列となる。グモウスキー・ミラの写像はあるパラメータ範囲でストレンジアトラクタを持っている^[5]。周りの軌道を吸引する部分空間があり、その部分空間上で軌道は非周期で初期値に鋭敏な点列である。一方で、その部分空間自体は不変で一定の形状を有している。このような部分空間をストレンジアトラクタと呼ぶ^[11]。

グモウスキー・ミラの写像は多種多様な形状のストレンジアトラクタが現れることで知られる^[6][8]。グモウスキー・ミラの写像は美的な創作にも利用されてきた^[12]。特に、f₂ と g₁ から成る写像における鳥の羽のようなアトラクタは有名で、パラメータ (α, σ, μ) が (0.008, 0.05, −0.496) のときには3枚羽の翼が、 (0.009, 0.05, −0.801)^[13] のときには5枚羽の翼が描かれる^[9][14]。ミラはこれらを「神話の鳥 (mythic bird)」と名付けた^[14][12]。

パラメータの値によってはストレンジアトラクタ以外のアトラクタも現れ、安定な周期点のアトラクタも現れる^[6]。パラメータの値に応じて解の振る舞いが定性的に変化することを力学系では分岐と呼ぶ^[2]。グモウスキー・ミラの写像は μ に対して鋭敏に反応して分岐する傾向を持つ^[6]。下記に、散逸系のグモウスキー・ミラの写像（f₂ ）の軌道（アトラクタ）と、保存系のグモウスキー・ミラの写像（f₁ ）の軌道の例を示す。

• 散逸系のグモウスキー・ミラの写像のアトラクタ
• 
  f₂-g₁, α = 0.008, σ = 0.05, μ = −0.496
• 
  f₂-g₁, α = 0.009, σ = 0.05, μ = −0.801
• 
  f₂-g₁, α = 0.005, σ = 0.05, μ = −0.5
  （3個の周期点）
• 
  f₂-g₂, α = 0.0083, σ = 0.1, μ = −0.38
• 
  f₂-g₂, α = 0.01, σ = 0.1, μ = 0.8
• 
  f₂-g₂, α = 0.07, σ = 0.0075, μ = −0.43
  （25個の周期点）

• 保存系のグモウスキー・ミラの写像の軌道
• 
  f₁-g₁, μ = 0.39, x₀ = 1, y₀ = 1
• 
  f₁-g₁, μ = 0.365, x₀ = 1, y₀ = 1
• 
  f₁-g₁, μ = 0.34, x₀ = 1, y₀ = 1