グリフィス理論

グリフィスは、最小ポテンシャルエネルギの原理により、き裂が成長して新たに形成される表面によるポテンシャルエネルギは最少となる必要があることから、き裂成長により解放されるひずみエネルギーと増加する新たなき裂表面エネルギーが平衡を保つと仮定した^[3]。すなわち、解放されるひずみエネルギ量が増加する表面エネルギ量を打ち消す、あるいは上回るときにき裂が成長するとした。これをグリフィスの条件と呼ぶ^[1]。

材料を横弾性係数G、ポアソン比νの線形弾性体と仮定して、長さ2aのき裂を持つ単位厚さの無限板が、き裂に垂直な方向に無限遠方から一様引張応力σを受ける場合を考える。このき裂により解放される弾性ひずみエネルギUは以下のようになる^[4]。

${\displaystyle U={\frac {3-\kappa }{8G}}\pi a^{2}\sigma ^{2}}$

${\displaystyle \kappa =(3-\nu )/(1+\nu )}$　（平面応力）

${\displaystyle \kappa =3-4\nu }$　（平面ひずみ）

また、材料の単位面積当たりの表面エネルギーをγとすると、このき裂の全表面エネルギWは以下のように与えられる^[4]。

${\displaystyle W=4a\gamma }$

グリフィスの条件より

${\displaystyle {\frac {dU}{da}}\geq {\frac {dW}{da}}}$

であるので、UとWに代入して整理すると、き裂を成長させるのに必要な応力σの以下の条件が得られる^[4]。

${\displaystyle \sigma \geq {\frac {4}{\sqrt {3-\kappa }}}{\sqrt {\frac {G\gamma }{\pi a}}}}$

上式は、弾性率の相関関係を用いて縦弾性係数Eとポアソン比νで書き表した場合は次式となる^[5]。

${\displaystyle \sigma \geq {\sqrt {\frac {2\gamma E'}{\pi a}}}}$

${\displaystyle E'=E}$　（平面応力）

${\displaystyle E'=E/(1-\nu ^{2})}$　（平面ひずみ）

さらに上式を変形すると以下のようになる。

${\displaystyle (K_{\rm {I}}=)\sigma {\sqrt {\pi a}}\geq 2\gamma E'(=K_{\rm {Ic}})}$

不等号の左辺はモードIの応力拡大係数K_Iと等しく、グリフィスの理論は後に発達する応力拡大係数を柱とした破壊力学の手法と等価である^[6]。右辺は弾性率、材料表面エネルギという材料の物性値から決定される値となり、破壊靱性K_ICと呼ばれる材料の破壊に対する抵抗を示す材料定数となる^[6]。

グリフィスはガラスを用いた実験検討を行い、条件式の有効性を確認した^[7]。