コンウェイ円

Iを△ABCの内心、rを内接円の半径、sを半周長、F_a, F_b, F_cを内接円と辺a, b, cの接点とする。

IF_a, IF_b, IF_cはそれぞれa, b, cの垂線であるからピトーの定理よりAF_c = AF_b = s - a, BF_c = BF_a = s - b, CF_a = CF_b = s - cである。6つの三角形 IF_cP_a, IF_cQ_b, IF_aP_b, IF_aQ_c, IF_bQ_a, IF_bP_cはすべて、AF_c + BF_c + CF_a = sとrと等しい長さの辺を持ち、また直角三角形である。したがって二辺夾角相等より6つの三角形はすべて合同で、IP_a = IQ_a = IP_b = IQ_b = IP_c = IQ_c が成り立ち、6点P_a, Q_a, P_b, Q_b, P_c , Q_c はIとの距離が等しく、Iを中心として共円である。

コンウェイ円の半径は

${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+s^{2}}}}$

である^[2]。ただしrは内接円の半径、 sは半周長である。

コンウェイ円の定理は次のように一般化できる。

△ABCと直線AB上の点Pについて、符号付き距離で、BP = BQ, CQ = CR, AR = AS, BS = BT, CT = CUをみたす点を、それぞれQ, TはBC上に、R, UはCA上に、SはAB上に作ったとき、AU = APで PQRSTU は共円である^[3]。

PをAB上のBP = bを満たすような外側の点とすることで、コンウェイ円の定理を得る。