コンパクト開位相

定理 ― X, Y を位相空間とし、H ⊂ C(X, Y) とし、さらに ${\displaystyle \phi _{H}\colon H\times X\to Y}$ を

${\displaystyle \phi _{H}\colon (f,x)\mapsto f(x)}$

により定義する。このとき、

• X が局所コンパクトハウスドルフである場合、${\displaystyle \phi _{H}}$ は H にコンパクト開位相をいれたときに連続となる。
• ${\displaystyle \phi _{H}}$ が H 上の位相 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ に関して連続であれば ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ はコンパクト開位相より強い^[3]。

定理 ― X を位相空間、Y を距離空間（あるいはより一般に一様空間）とする。 このとき C(X, Y ) の列（あるいはより一般にネット）${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ が f ∈ C(X, Y) にコンパクト開位相で収束する必要十分条件は ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ が f に以下の意味で収束（コンパクト収束という）する事である：

• X の任意のコンパクト部分集合 K に対し、${\displaystyle (f_{n}|_{K})_{n\in \mathbb {N} }}$ は ${\displaystyle f|_{K}}$ に一様収束する。

定理 ― X がコンパクトハウスドルフ空間、Y が距離空間であるとき、C(X, Y) の部分集合 H がコンパクト開位相に関しコンパクトである必要十分条件は H が下記の3条件をすべて満たす事である：

• H は C(X, Y) の閉集合である
• (同程度連続性) 任意の x ∈ X と任意の ε > 0 に対しある δ > 0 が存在し、全ての f ∈ H と全ての y ∈ Y に対し d(x, y ) < δ なら d(f(x), f(y)) < ε である。
• (各点相対コンパクト性) 任意の x ∈ X に対し、${\displaystyle \{f(x)\mid f\in H\}}$ は Y において相対コンパクトである。