ザリスキー位相

アファイン多様体

まずアファイン空間 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ に位相を定義する。${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ は集合としては単に k 上の n 次元ベクトル空間である。位相は（開集合系でなく）閉集合系によって定める。${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ の任意の代数的集合、つまり

${\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0,\;\forall f\in S\}}$

の形の集合を閉集合とする。ただし S は k 上の n 変数多項式からなる任意の集合である。以下の性質は直ちに確かめられる。

• V(S) = V((S)), ただし (S) は S の元全体によって生成されたイデアル。
• 多項式の任意の2つのイデアル I, J に対し、
  1. ${\displaystyle V(I)\cup V(J)\,=\,V(IJ);}$
  2. ${\displaystyle V(I)\cap V(J)\,=\,V(I+J).}$

これらの性質より、V(S) の形の集合からなる有限族の合併集合および任意濃度の族の共通部分もこの形になるから、これら全体を閉集合系とすることにより位相が定まる。これが ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ 上のザリスキ位相である。

X がアファイン代数的集合（既約であってもなくてもよい）であれば、その上のザリスキ位相は単純に${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ への包含写像から誘導される相対位相として定義される。あるいは同じことだが、以下のことを証明できる。

• アファイン座標環

${\displaystyle A(X)\,=\,k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(X)}$

の元は（${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ の元が ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ 上の関数として振る舞うのとちょうど同じように）X 上の関数として振る舞う。

• 多項式からなる任意の集合 S に対し、T をその A(X) における像全体からなる集合とすると、X の部分集合

${\displaystyle V'(T)=\{x\in X\mid f(x)=0,\;\forall f\in T\}}$

は V(S) の X との共通部分に等しい。（これらの記法は標準的というわけではない。）

これによって、上の式（明らかに以前の式の一般化である）は任意のアファイン多様体上のザリスキ位相を定義している。

例

k を複素数体とし、n = 1 とすると、アファイン空間 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ の閉集合は、すべての有限集合および全体集合である。したがって、ザリスキ位相の意味での閉集合は、ユークリッド位相の下でも閉集合であるが、ユークリッド位相での閉集合は、有限集合でなければ、全体集合でない限りザリスキ位相では閉集合とならない。例えば整数全体のなす集合 Z は閉集合でない。Z は ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ においては稠密でもあり、これは通常の位相とは大きく異なる点である。一般に可算無限個の点を持つ集合は ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ の稠密な部分集合となる。${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ から C（${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ と同一視してザリスキ位相を入れる）への正則関数とは多項式関数のことであり、この関数は連続である。さらに、可算無限個の相異なる点の行き先を定めれば、それらの点を通るような多項式関数は高々一つしか存在しない。このように、ザリスキ位相は ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ 上の正則関数（多項式関数）とうまく調和するように定義されている。

射影多様体

n-次元射影空間 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ は、${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}}$ の 0 以外の2点の一方が他方のスカラー倍になっている場合にそれらを同一視することにより定義される。多項式環 ${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$ の元は、任意の元が多項式の中で異なる値をとるという多くの表現を持っているので、${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ 上の函数ではない。しかし、斉次多項式に対し、与えられた射影的点上で 0 をとるか 0 を取らないかという条件は、スカラー因子は多項式に影響しないので、well-defined である。従って、S が斉次多項式の集合であれば、

${\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}}$

と言ってもよい。

これと同じ事実がこれらの集合に対して成り立つかもしれない。ただし、「イデアル」という単語は「斉次イデアル」という単語に置き換えねばならない。すると、斉次多項式の集合 S に対して V(S) は、${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ 上の位相を定義する。このように、これらの集合の補集合を D(S) あるいは、混乱がないならば、D′(S) と書く。

射影的なザリスキー位相は、アフィン多様体のザリスキー位相がアフィン代数的集合に対して部分空間の位相をとることにより定義されたことと同様に、射影的代数的集合に対して定義される。上記と同じ公式により、射影的座標環の元の集合により、ザリスキー位相が定義されることが示される。

性質

これらの位相についての極めて有効な事実は、それらの基底(basis)が特別な単純元、つまり、f の個別多項式（もしくは、射影多様体の同時多項式） D(f) からなることを示すことができることである。実際、これらが基底を形成することは、与えられた 2つのザリスキー閉集合の交叉の公式から理解することができる（これを繰り返し、(S) の生成元によち生成される主イデアルへ適用する）。これらを識別可能(distinguished)もしくは基本(basic)開集合と呼ぶ。

ヒルベルトの基底定理とネーター環の基本性質により、全てのアフィン座標環と射影座標環はネーター環である。結果として、ザリスキー位相を持つアフィン空間も射影空間も、ネーター位相空間(Noetherian topological space)であり、これら空間の任意の部分空間はコンパクトであることを意味する。

k が有限体でない場合は、多様体はハウスドルフ空間ですらない。古いトポロジーの文献では、「コンパクト」はハウスドルフの性質に含まれていると理解されていて、この考え方は未だに代数幾何学では尊重されている。現代的な意味でのコンパクト性は、代数幾何学では「準コンパクト性」と呼ばれる。しかし、全ての点 (a₁, ..., a_n) は多項式 x₁ - a₁, ..., x_n - a_n の零点の集合であるので、点自体も閉点であり、全ての多様体はT1空間の公理を満たす。

全ての多様体の正則写像は、ザリスキー位相に関して連続である。事実、ザリスキー位相は（最も少ない開集合をもつ）最も弱いトポロジーで、そこでは上記は正しく、点は閉じている。このことは、容易に、ザリスキー閉集合が単純に多項式函数による 0 の逆像の交叉と単純に考えることにより理解されるので、${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ への正則写像と考えることができる。

性質

トポロジーの古典的描像と新しい描像の最も劇的な変化は、点がもはや閉じている必要はないということである。定義を拡張することで、グロタンディークは、閉包がそれ自体よりも大きい（同じではなく）生成点（英語版）(generic point)と言う考え方を導入した。閉点は A の極大イデアルに対応する。しかし、注意すべきは、スペクトルや射影スペクトルは未だ T₀ 空間となることである。なぜなら、 A の素イデアルである2点 P, Q をとり、 P は Q を含まないとすると、D(Q) は P を含み、Q を含まない開集合となるからである。

まさに古典代数幾何学のように、任意のスペクトルや射影スペクトルはコンパクトであり、問題にしている環がネーター的であれば、空間はネーター的な空間である。しかし、これらの事実は直感とは食い違い、連結空間以外の開集合をコンパクトとすることは期待できなく、アフィン多様体（例えば、ユークリッド空間）に対しては、空間自体がコンパクトであることすら期待できない。これは、ザリスキー位相の通常の幾何学的には一致しないことの一例である。グロタンディエクは、この問題をスキームの固有性(properness)という考え方（実際、スキームの射）を定義することにより解決した。この考え方は直感的なコンパクト性という考え方を再現する。しかし、Proj では固有であるが、Spec では固有ではない。

例

• 体 k のスペクトル Spec k は、一つの元からなる位相空間である。
• 整数ℤのスペクトル Spec ℤ は、素数 p に対応する極大イデアル (p) ⊂ ℤを閉点として持ち、零イデアル (0) を閉でない生成点（英語版）(generic point)（すなわち、閉包は全空間となる）として持つ。従って、Spec ℤ の閉集合全体は、ちょうど有限個の閉点の合併と全体空間からなる。
• 体 k 上の一変数多項式環のスペクトル Spec k[t] は、${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ で表され、アフィン直線(affine line)である。体上の一変数多項式環は主イデアル整域であることが知られていて、既約多項式は k[t] の素元である。k が例えば複素数体のような代数的閉体であれば、定数でない多項式が既約であることと、線型で k のある元 a により t − a の形であることとは同値である。従って、スペクトルは k の全ての元 a に対応する閉点と零イデアルに対応する生成点から構成される。k が例えば実数体のような代数的閉体でなければ、非線型な既約多項式の存在により、描像はさらに複雑になる。例えば、ℝ[t] のスペクトルは、ℝ の中の a に対する閉点 (x − a) と p, q が ℝ の元であり、負の判別式 p² − 4q < 0 であるような (x² + px + q) と最後に生成点から構成される。任意の体に対し、Spec k[t] の閉集合全体は閉点の有限個の合併と全体空間である。（これは代数的閉体に対しては上記の議論より明らかである。一般的な場合の証明は、いくつかの可換代数、つまり k[t] のクルル次元は 1 であるという事実 - クルルの主イデアル定理を参照 - 必要とする。