ジグモンディの定理

ジグモンディの定理（ジグモンディのていり、英: Zsigmondy's theorem）は、カール・ジグモンディ（英語版）に因んで名付けられた数論の定理である。下記に挙げる例外を除き、互いに素な正整数a, bと正整数nについて、aⁿ - bⁿはpで割り切れるが、kをk < nを満たす任意の正整数としてa^k - b^kはpで割り切れないようなある素数p（primitive prime divisor）が存在することを主張する。

例外:

• ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle a-b=1}$の場合。 ${\displaystyle a^{n}-b^{n}=1}$ゆえにpが存在しない。
• ${\displaystyle n=2}$, ${\displaystyle a+b}$が2の冪の場合。${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a^{1}-b^{1})}$の任意の奇数素因数が${\displaystyle a^{1}-b^{1}}$の因数でなければならないが${\displaystyle a^{1}-b^{1}}$は偶数である。
• ${\displaystyle n=6}$, ${\displaystyle a=2}$, ${\displaystyle b=1}$の場合。 ${\displaystyle a^{6}-b^{6}=63=3^{2}\times 7=(a^{2}-b^{2})^{2}(a^{3}-b^{3})}$が成立してしまう。

この定理は1または6でない正整数nについて、${\displaystyle 2^{n}-1}$を割り切り、${\displaystyle 2^{k}-1}$を割り切らない素数pが存在する事を主張する Bang の示した定理^[1] を一般化している。

同様に、${\displaystyle 2^{3}+1^{3}=9}$の場合を除き、${\displaystyle a^{n}+b^{n}}$は少なくとも1つのpを持つ。

ジグモンディの定理は役に立つ場面が多く、群論では様々な群が異なる位数を持つことの証明に利用される^[2][3]。