スカイダイビング

フラットスピン

スカイダイビングにおけるフラットスピン（英: flat spin）はフラットターンし続ける動作である^[19]。

フラットスピンは意図的に起こす場合もあるが、基本的には制御に失敗した不安定な状態である^[19]。回転の中心側は血流不足・周辺側は血流過剰になるため、持続すると意識を失う危険性がある^[19]。

運動方程式

自由落下時に発生する抗力は以下の式となる^[27]。

${\displaystyle D={1 \over 2}\rho v^{2}SC_{\mathrm {D} }}$

ここで

• ${\displaystyle C_{\mathrm {D} }}$は抗力係数
• D は、発生する抗力
• ${\displaystyle \rho }$ は大気密度^{[注釈 1]}
• ${\displaystyle v}$ は物体と大気の相対速度
• ${\displaystyle m}$ は降下物体の質量
• ${\displaystyle S_{b}}$ は降下物体の投影面積

従って自由落下時の運動方程式は、以下のようになる^[27]。

${\displaystyle m{\frac {dv}{dt}}=mg-{1 \over 2}\rho v^{2}SC_{D}}$

終端速度

終端速度とは、重力と空気抵抗がつり合った状態の降下速度のことである。ここで終端速度を${\displaystyle v_{\infty }}$とすると、運動方程式から、

${\displaystyle 0=mg-{1 \over 2}\rho v_{\infty }^{2}S_{b}C_{D}}$

となり、これを整理すると以下通りになる。

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\frac {2mg}{\rho S_{b}C_{D}}}}}$

速度

次に、降下から終端速度に達するまでに速度の応答の式を導出する。ここで終端速度${\displaystyle v_{\infty }}$を使って、もう一度運動方程式を整理すると、

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=g(1-{\frac {v^{2}}{v_{\infty }^{2}}})}$

これを変形する。

${\displaystyle {\frac {v_{\infty }^{2}}{v^{2}-v_{\infty }^{2}}}{\frac {dv}{dt}}=-g}$

この微分方程式を解く。

${\displaystyle {\frac {v_{\infty }}{2}}\int ({\frac {1}{v-v_{\infty }}}-{\frac {1}{v+v_{\infty }}})dv=-\int gdt}$

ここで${\displaystyle C'}$を定数として、

${\displaystyle {\frac {v_{\infty }}{2}}\log _{e}\left|{\frac {v-v_{\infty }}{v+v_{\infty }}}\right|=-gt+C'}$

以上から、

${\displaystyle {\frac {v-v_{\infty }}{v+v_{\infty }}}=Ce^{-{\frac {2g}{v_{\infty }}}t}}$

ただし、

${\displaystyle C=e^{\frac {2C'}{v_{\infty }}}}$

初速度、すなわち降下開始時の鉛直方向の速度を0とすると

${\displaystyle C=-1}$

従って

${\displaystyle {\frac {v-v_{\infty }}{v+v_{\infty }}}=-e^{-{\frac {2g}{v_{\infty }}}t}}$

これを整理すると、落下速度は以下の時間関数として表現される。

${\displaystyle v(t)=v_{\infty }{\frac {1-e^{-{\frac {2g}{v_{\infty }}}t}}{1+e^{-{\frac {2g}{v_{\infty }}}t}}}=v_{\infty }{\frac {e^{{\frac {g}{v_{\infty }}}t}-e^{-{\frac {g}{v_{\infty }}}t}}{e^{{\frac {g}{v_{\infty }}}t}+e^{-{\frac {g}{v_{\infty }}}t}}}}$

また上式を双曲線関数で表現すると、以下のようになる^[28] 。

${\displaystyle v(t)=v_{\infty }\operatorname {tanh} {{\frac {g}{v_{\infty }}}t}}$