スツルムの定理

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実区間${\displaystyle [a,b]}$が与えられたとき、次の4つの条件を満足する実係数をもつ多項式列

${\displaystyle f_{0}(x),~f_{1}(x),~f_{2}(x),~\cdots ,~f_{L}(x)}$

は区間${\displaystyle [a,b]}$においてスツルム列（スツルム関数列）をなすという。

1. 列中にある任意の隣り合う2つの多項式${\displaystyle f_{k}(x)}$と${\displaystyle f_{k+1}(x)}$は、区間${\displaystyle x\in [a,b]}$に於いて共通の零点を持たない。
2. 列中にある任意の隣り合う3つの多項式${\displaystyle f_{k-1}(x)}$、${\displaystyle f_{k}(x)}$、${\displaystyle f_{k+1}(x)}$について、区間${\displaystyle [a,b]}$に於ける多項式${\displaystyle f_{k}(x)}$の零点${\displaystyle z}$に対して、その両側の多項式の${\displaystyle z}$に於ける値の符号は逆になる（つまり${\displaystyle z\in [a,b]}$かつ${\displaystyle f_{k}(z)=0}$ならば${\displaystyle f_{k-1}(z)f_{k+1}(z)<0}$である）。
3. 列の最後の多項式${\displaystyle f_{L}(x)}$は 区間${\displaystyle x\in [a,b]}$に於いて一定の符号を持つ（つまり${\displaystyle f_{L}(x)}$は区間${\displaystyle x\in [a,b]}$に零点を持たない）。
4. ${\displaystyle f_{0}(x)}$の区間${\displaystyle x\in [a,b]}$に於ける任意の零点を${\displaystyle z}$とすれば、${\displaystyle f_{0}'(z)f_{1}(z)>0}$である。ここで${\displaystyle f_{0}'(x)}$は${\displaystyle f_{0}(x)}$の導関数を表す。

上の条件を満足するスツルム列の一つとして、多項式${\displaystyle f(x)}$とその微分${\displaystyle f'(x)}$について

${\displaystyle f_{0}(x)=f(x)}$

${\displaystyle f_{1}(x)=f'(x)}$

とおき、これにユークリッドの互除法を適用することで得られる多項式列がある:

${\displaystyle {\begin{matrix}f_{0}(x)&=&g_{1}(x)f_{1}(x)-f_{2}(x)\\f_{1}(x)&=&g_{2}(x)f_{2}(x)-f_{3}(x)\\f_{2}(x)&=&g_{3}(x)f_{3}(x)-f_{4}(x)\\&\vdots &\\f_{l-1}(x)&=&g_{l}(x)f_{l}(x)~~~~~~~~~~\\\end{matrix}}}$

このとき${\displaystyle f_{l}(x)}$は${\displaystyle f_{0}(x)}$と${\displaystyle f_{1}(x)}$との最大公約数であり、さらに${\displaystyle f(x)=0}$と${\displaystyle f'(x)=0}$が共通根をもたない、すなわち${\displaystyle f(x)=0}$が単根のみをもつとき、${\displaystyle f_{l}(x)=}$定数${\displaystyle \neq 0}$を満足する。

また、3重対角化された対称行列${\displaystyle A}$からなる行列${\displaystyle \lambda I-A}$の主小行列式により構成される多項式列や、最高次の係数が正である直交多項式の列も区間${\displaystyle [a,b]}$においてスツルム列をなす。

実係数多項式の列${\displaystyle f_{0}(x),f_{1}(x),f_{2}(x),\cdots ,f_{l}(x)}$は${\displaystyle x\in [a,b]}$でスツルム列をなし、${\displaystyle f_{0}(a)f_{0}(b)\neq 0}$であるとする。 このとき、${\displaystyle x}$を固定して関数値の列

${\displaystyle f_{0}(x),~f_{1}(x),~f_{2}(x),~\cdots ,~f_{l}(x)}$

を左から右に見ていったときの符号（正負）の変化の回数を${\displaystyle N(x)}$とすると、方程式${\displaystyle f_{0}(x)=0}$の区間${\displaystyle [a,b]}$内における解の個数は

${\displaystyle N(a)-N(b)}$

で与えられる。