スピロ予想

任意の ε > 0 に対し、定数 C (ε) が存在して、有理数体 Q 上定義された全ての楕円曲線 E に対して、E の極小判別式を Δ で、導手を f で表すと、

${\displaystyle \vert \Delta \vert \leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }}$

が成り立つ。

以上は有理数体における主張であるが、一般の代数体Ver.や関数体Ver.もある。関数体Ver.は、Szpiro の定式化のずっと以前に小平邦彦によって発見されており、その証明は易しい^[1]。

スピロ予想より強い以下の主張がABC予想と同値である^[2]。

任意の ε > 0 に対し、定数 C (ε) が存在して、有理数体 Q 上定義された全ての楕円曲線 E に対して、

${\displaystyle \max\{\vert c_{4}\vert ^{3},\vert c_{6}\vert ^{2}\}\leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }}$

が成り立つ。ここに、c₄, c₆ は楕円曲線 E のよく知られた不変量である。

一般に 1728Δ = c₄³ - c₆² であるから、上記の主張から通常のスピロ予想は簡単に導かれる。

通常のスピロ予想は、少し弱いVer.のABC予想と同値である^[3]。