スペクトル法

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ここでは、基本的な多変量計算とフーリエ級数の理解を前提としている。 もし${\displaystyle g(x,y)}$が2つの実変数を取る既知の複素関数であり、gがx, yに関して周期的であるとき（つまり、 ${\displaystyle g(x,y)=g(x+2\pi ,y)=g(x,y+2\pi )}$である場合 ）、以下を満たす関数 f(x, y) を見つけることを考える。

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f(x,y)=g(x,y)\quad {\text{for all }}x,y}$

ただし、左辺はx, yにおけるfの2次偏微分係数をそれぞれ示している。これはポアソン方程式であり、物理的には熱伝導の問題、またはポテンシャル理論の問題として解釈できる。

フーリエ級数でfとgを書くと、

${\displaystyle f=:\sum a_{j,k}e^{i(jx+ky)}}$

${\displaystyle g=:\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}}$

であり、これを微分方程式に代入すると、次の方程式が得られる。

${\displaystyle \sum -a_{j,k}(j^{2}+k^{2})e^{i(jx+ky)}=\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}}$

ここで偏微分を無限和と交換している。これは、たとえばfに連続的な2次導関数があると仮定した場合に正当である。フーリエ展開の一意性定理により、フーリエ係数を項ごとに等しくする必要がある。

（*） ${\displaystyle a_{j,k}=-{\frac {b_{j,k}}{j^{2}+k^{2}}}}$

これは、フーリエ係数a_j,kの陽な表現である。

周期的境界条件から、ポアソン方程式はb_0,0 = 0の場合に限り解を持つ。したがって、我々は自由に解の平均値a_0,0を選択することができる。これは、積分定数の選択に対応する。

ここからアルゴリズムを構成するため、有限数の周波数のみを解く。 これにより、${\displaystyle h^{n}}$に比例する誤差が発生する。ただし${\displaystyle h:=1/n}$であり、${\displaystyle n}$は処理対象の最大周波数である。

1. gのフーリエ変換(b_j,k) を計算
2. 式(*)を用いてfのフーリエ変換(a_j,k)を計算
3. (a_j,k)の逆フーリエ変換を実行してfを計算

ここでは幅nの周波数の有限窓のみに関心があるため、このアルゴリズムは高速フーリエ変換を使用して実行できる。したがって、アルゴリズムはグローバルにO(n log n)時間で実行できる。

スペクトルアプローチを使用し、強制的な非定常非線形バーガース方程式を解く。

与えられた${\displaystyle u(x,0)}$周期領域で${\displaystyle x\in \left[0,2\pi \right)}$ 、次式を満たす${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$を見つけることを考える。

${\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=\rho \partial _{xx}u+f\quad \forall x\in \left[0,2\pi \right),\forall t>0}$

ここで、 ρは粘度係数である。 弱保存形では、これは次式のようになる。

${\displaystyle \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle =\left\langle \partial _{x}\left(-{\frac {1}{2}}u^{2}+\rho \partial _{x}u\right),v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0}$

ただし、${\displaystyle \langle f,g\rangle$ :=\int _{0}^{2\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx} は内積である。 部分積分と周期性により、

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,v\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0.}$

フーリエ- ガラーキン法を適用するには、以下の両方を選択する。

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{N}:=\left\{u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1}{\hat {u}}_{k}(t)e^{ikx}\right\}}$

${\displaystyle {\mathcal {V}}^{N}:=\operatorname {span} \left\{e^{ikx}:k\in -N/2,\dots ,N/2-1\right\}}$

ただし、${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(t):={\frac {1}{2\pi }}\langle u(x,t),e^{ikx}\rangle }$ 。 これにより、${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}^{N}}$の探索は以下の問題に帰着される。

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.}$

ここで、直交関係${\displaystyle \langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk}}$を利用している。ただし${\displaystyle \delta _{lk}}$はクロネッカーデルタである。上記の3つの項を${\displaystyle k}$について整理すると次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle \partial _{t}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =\left\langle \sum _{l}\partial _{t}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k},\\\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle \sum _{l}{\hat {f}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle =2\pi {\hat {f}}_{k},{\text{ and}}\\\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle &=\left\langle {\frac {1}{2}}\left(\sum _{p}{\hat {u}}_{p}e^{ipx}\right)\left(\sum _{q}{\hat {u}}_{q}e^{iqx}\right)-\rho \partial _{x}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle \\&=\left\langle {\frac {1}{2}}\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},ike^{ikx}\right\rangle -\left\langle \rho i\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},ike^{ikx}\right\rangle \\&=-{\frac {ik}{2}}\left\langle \sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},e^{ikx}\right\rangle -\rho k\left\langle \sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}\right\rangle \\&=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}.\end{aligned}}}$

これらの3つの項を${\displaystyle k}$についてまとめることで次式を得る。

${\displaystyle 2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+2\pi {\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.}$

両辺を${\displaystyle 2\pi }$で除することで、最終的に次式を得る。

${\displaystyle \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.}$

フーリエ変換後の初期条件${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(0)}$と外力${\displaystyle {\hat {f}}_{k}(t)}$ を入力として与えることで、この常微分方程式の結合系の時間発展は、ルンゲ＝クッタ法などを使った数値積分によって解くことができる。 第一項（非線形項）は畳み込み演算であるため、これも効率的に評価するための変換がいくつか存在する。 BoydおよびCanutoらの参考文献を参照してください。詳細については。