スミス–ヴォルテラ–カントール集合

通常のカントール集合とよく似た構成であり、スミス–ヴォルテラ–カントール集合も単位区間 ${\displaystyle [0,1]}$ からある区間を順次取り除いて構成する。

まず最初に ${\displaystyle [0,1]}$ から真ん中 1/4 を取り除く（つまり、1/2 の地点から両側にそれぞれ 1/8 を取り除く）。よってこの時点で残った集合は $${\displaystyle \left[0,{\tfrac {3}{8}}\right]\cup \left[{\tfrac {5}{8}},1\right]}$$ である。

続くステップでは残っている ${\displaystyle 2^{n-1}}$ 個の区間それぞれの中心 ${\displaystyle 1/4^{n}}$ の区間を除去していく。そこで、二番目のステップで除去されるのは ${\displaystyle (5/32,7/32)}$ と ${\displaystyle (25/32,27/32)}$ で、残るのは $${\displaystyle \left[0,{\tfrac {5}{32}}\right]\cup \left[{\tfrac {7}{32}},{\tfrac {3}{8}}\right]\cup \left[{\tfrac {5}{8}},{\tfrac {25}{32}}\right]\cup \left[{\tfrac {27}{32}},1\right]}$$ である。

この除去の作業を無限に繰り返して、取り除かれなかった点の集合がスミス–ヴォルテラ–カントール集合である。以下の図は最初のステップを5回繰り返した状況を表している。

スミス–ヴォルテラ–カントール集合の構成の各ステップでは残りの区間に比例して除去される部分の割合も小さくなっている。このことはカントール集合の構成と対照的であり、カントール集合では除去される部分の割合は不変である。このことにより、前者は正の測度をもち、後者は測度 0 をもつ。

その構成法により、スミス–ヴォルテラ–カントール集合はいかなる区間をも含まず、よって内部が空である。また、閉集合列の交叉として得られるので、閉集合である。構成法により ${\displaystyle [0,1]}$ から除かれる区間の長さの和は $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {2^{n}}{2^{2n+2}}}={\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{16}}+\cdots ={\tfrac {1}{2}}\,}$$ である。すなわち、残っている集合の測度は 1/2 である。このことにより、スミス–ヴォルテラ–カントール集合は境界が正のルベーグ測度を持っている閉集合の一例になっていることが分かる。