スレーター積分

この積分は次のような[恒等式]をもつ

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')&=c^{k}(\ell ,-m,\ell ',-m')\\&=(-1)^{m-m'}c^{k}(\ell ',m',\ell ,m)\\&=(-1)^{m-m'}{\sqrt {\frac {2\ell +1}{2k+1}}}c^{\ell }(\ell ',m',k,m'-m)\\&=(-1)^{m'}{\sqrt {\frac {2\ell '+1}{2k+1}}}c^{\ell '}(k,m-m',\ell ,m).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ,m)&=(2\ell +1)\delta _{k,0}.\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }\sum _{m'=-\ell '}^{\ell '}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')c^{k}(\ell ,m,{\tilde {\ell }},m')&=\delta _{\ell ',{\tilde {\ell }}}\cdot {\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{k}(\ell ,m+r,{\tilde {\ell }},m)&=\delta _{\ell ,{\tilde {\ell }}}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{q}(\ell ,m+r,\ell ',m)&=\delta _{k,q}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\end{aligned}}}$

配位子場理論において、次の値をスレーター積分 (またはスレーター-コンドンのパラメータ) という。^[2]

${\displaystyle F^{k}(d,d)=\int _{0}^{\infty }r_{1}^{2}dr_{1}\int _{0}^{\infty }r_{2}^{2}dr_{2}R_{32}^{2}(r_{1})R_{32}^{2}(r_{2}){\frac {r_{<}^{k}}{r_{>}^{k+1}}}}$

ここで${\displaystyle R_{nl}(r)}$は波動関数の動径部分である。

また次の${\displaystyle F_{k}}$もスレーター積分という。コンドン-ショートレーパラメータとも呼ばれる。

${\displaystyle F_{0}=F^{0}}$

${\displaystyle F_{2}={\frac {1}{49}}F^{2}}$

${\displaystyle F_{4}={\frac {1}{441}}F^{4}}$

ラカー(Racah)は原子スペクトルの理論で次のラカーパラメーターA、B、Cを導入した。

${\displaystyle A=F_{0}-49F_{4}}$

${\displaystyle B=F_{2}-5F_{4}}$

${\displaystyle C=35F_{4}}$

1. ↑ John C. Slater, Quantum Theory of Atomic Structure, McGraw-Hill (New York, 1960), Volume I
2. ↑ 上村洸、菅野暁、田辺行人『配位子場理論とその応用』裳華房、1969年。ISBN 978-4-7853-2404-9。