ダンドラン球面

　直円錐を平面で切断して閉じた円錐曲線ができる場合を考える。いま、図のように頂点を${\displaystyle S}$とする円錐面の1葉の内部に2つの球面${\displaystyle G_{1}}$，${\displaystyle G_{2}}$が接しているとする(${\displaystyle G_{1}}$と${\displaystyle G_{2}}$は交点を持たない)。各球面と円錐面の接する部分は円である(図の白線)。これらを${\displaystyle k_{1}}$,${\displaystyle k_{2}}$とする。円錐面を${\displaystyle G_{1}}$,${\displaystyle G_{2}}$の両方に接するような平面${\displaystyle e}$で切断し、球${\displaystyle G_{1}}$,${\displaystyle G_{2}}$と平面${\displaystyle e}$との接点をそれぞれ${\displaystyle F_{1}}$,${\displaystyle F_{2}}$とするとき、その円錐曲線上の任意の点${\displaystyle P}$について距離の和${\displaystyle F_{1}P+F_{2}P}$が一定であることを証明する。

　円錐曲線上の任意の点${\displaystyle P}$に対し直線${\displaystyle SP}$を考え、円${\displaystyle k_{1}}$,${\displaystyle k_{2}}$との交点をそれぞれ${\displaystyle P_{1}}$,${\displaystyle P_{2}}$とする。また、球面${\displaystyle G_{1}}$,${\displaystyle G_{2}}$の中心をそれぞれ${\displaystyle M}$,${\displaystyle M'}$,半径を${\displaystyle r_{1}}$,${\displaystyle r_{2}}$(${\displaystyle r_{1}<r_{2}}$)とすると、

${\displaystyle \bigtriangleup MF_{1}P}$は直角三角形なので、

　${\displaystyle F_{1}P^{2}=MP^{2}-MF_{1}^{2}=MP^{2}-r_{1}^{2}}$

${\displaystyle \bigtriangleup MP_{1}P}$は直角三角形なので、

　${\displaystyle P_{1}P^{2}=MP^{2}-MP_{1}^{2}=MP^{2}-r_{1}^{2}}$

よって${\displaystyle F_{1}P=P_{1}P}$

${\displaystyle \bigtriangleup M'F_{2}P}$,${\displaystyle \bigtriangleup M'F_{2}P}$についても同様にして、${\displaystyle F_{2}P=P_{2}P}$

よって、${\displaystyle F_{1}P+F_{2}P=P_{1}P+PP_{2}=P_{1}P_{2}}$

${\displaystyle P_{1}P_{2}={\sqrt {MM'^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}}}}$なので、この値は球面${\displaystyle G_{1}}$,${\displaystyle G_{2}}$が与えられたときに決定している。

よって、この円錐曲線は2定点からの距離の和が一定である点の集合である。

この証明はペルガのアポロニウスの証明とは異なる流れである。

(楕円は円錐断面と軸のなす角や離心率によっても定義できるが)もし楕円の定義を「2定点からの距離の和が一定である点の集合」とするならば、上記の証明はこの円錐曲線が楕円であることを示している。

この証明は双曲線、放物線に対しても応用できる。 さらに平面と円柱との交差としての楕円についても応用できる。