トンプソン群

F の有限表示は次で与えられる。

${\displaystyle \langle A,B\mid \ [AB^{-1},A^{-1}BA]=[AB^{-1},A^{-2}BA^{2}]=\mathrm {id} \rangle }$

ここで${\displaystyle [x,y]}$は、通常の群論における交換子 ${\displaystyle xyx^{-1}y^{-1}}$を表す。

F には2つの生成元と2つの関係からなる上のような有限表示があるが、次の無限表示によって非常に簡単かつ直感的に記述される。

${\displaystyle \langle x_{0},x_{1},x_{2},\dots \ \mid \ x_{k}^{-1}x_{n}x_{k}=x_{n+1}\ \mathrm {for} \ k<n\rangle .}$

2つの表示は、${\displaystyle x_{0}=A,x_{n}=A^{1-n}BA^{n-1}\,(n>0)}$で関連付けられる。

トンプソン群 F は、順序付けられた根付き二分木に対する操作全体からなる群として、または向きを保ち、有限個の微分不可能な点が2進分数であり、区分的に線形で傾きがすべて2の累乗であるような単位区間上の同相写像の部分群として、実現される。

F は、単位区間の2つの端点を同一視することにより、単位円に作用していると見做すことができる。T はこのとき単位円上の自己同相写像からなる群で、F に同相写像 x ↦ x+1/2 mod 1を追加することで得られる。この写像は、二分木における根の下の2つの木を入れ替える操作に対応する。V は、T に半開区間[0, 1/2)上の点を固定し、半開区間 [1/2, 3/4) と [3/4, 1) を自明な方法で交換する不連続な写像を追加することで得られる。この写像は二分木においては、根の子のうち右側のものの下にある2つの木を(存在する場合には)交換する操作に対応する。

さらに F は、1つの生成元からなる自由ヨンソン-タルスキ代数（英語版）上の向きを保存する自己同型写像からなる群でもある。

トンプソンによる群 F が従順群ではないという予想は、ゲイガンによってさらに広められた。以下の参考文献で引用されているカノン、フロイド、パリーによる文献も参照せよ。この予想は未だ未解決である。シャグリゼー ^[1]は、2009年に F が従順群であることを証明したと主張した論文を出したが、MRレビューで説明されているように誤りが発見された。

F は基本従順群（英語版）ではないことが知られている。カノン、フロイド、パリーによるTheorem 4.10を参照せよ。F が従順でない場合、有限表示をもつ群に対する最近反証されたフォン・ノイマン予想（英語版）に対するさらなる反例となる。この予想は、有限表示をもつ群が従順群であることと、階数2の自由群と同型な部分群をもたないことが必要十分であるという予想である。