ド・カステリョのアルゴリズム

$n$ 次のベジェ曲線は、 $n+1$ 個の制御点 $P_0, P_1, \dots, P_n$ によって定義される。パラメータ $t \in [0, 1]$ における曲線上の点 $B(t)$ を求める手順は以下の通りである。

1. 隣り合う制御点 $P_i$ と $P_{i+1}$ を結ぶ線分を $t : (1-t)$ の比率で線形補間し、新しい点 $P_i^{(1)}$ を求める。
2. 得られた $n$ 個の点に対し、再び同様の線形補間を行い $n-1$ 個の点を求める。
3. この操作を繰り返し、最終的に得られるただ一つの点が、パラメータ $t$ における曲線上の点 $B(t)$ である。

数学的には次のように再帰的に定義される：

${\displaystyle P_{i}^{(0)}=P_{i}}$

${\displaystyle P_{i}^{(j)}=(1-t)P_{i}^{(j-1)}+tP_{i+1}^{(j-1)}\quad (j=1,\dots ,n,\quad i=0,\dots ,n-j)}$

このとき、$B(t) = P_0^{(n)}$ である。

• 数値的安定性: ベルシュタイン基底を直接計算するよりも、浮動小数点演算における誤差の影響を受けにくい。
• 曲線の分割: アルゴリズムの過程で生成される中間的な点は、元のベジェ曲線を $t$ の位置で2つの新しいベジェ曲線に分割する際の制御点となる。これはCADなどの分割・結合処理において極めて重要である。
• 直感的な理解: 複雑な多項式を用いず、単純な線形補間の繰り返し（幾何学的な作図）として理解できる。

• ベジェ曲線
• ベルシュタイン基底
• 線形補間
• CAD
• スプライン曲線