スプライン曲線

製図用具におけるスプライン（英: spline）はしなやかで弾力のある細長い板である。

真っ直ぐで弾力のある板をたわませ複数の重しで支えると、板はその弾力により滑らかに曲がる。これを製図に応用すれば、板と重しによって「重しの位置を通る滑らかな曲線」を得られる。この用途で用いられるしなやかで弾力のある細い板がスプラインであり、重しは 英: spline weights と呼ばれた。スプラインは自在定規の一種であるといえる^[2]。

スプライン曲線の物理的形状は弾力あるスプラインの弾性エネルギー最小化により規定される。これを数学的に模倣した関数が三次スプライン曲線である^[3]。

1次スプライン曲線は、線形補間であり、折れ線グラフである。

一般にN個（N≧3）の制御点がある時、その全てを通るN-1次多項式により一括の多項式補間が可能であるが、ルンゲ現象をはじめとする不都合を伴う。

これに対し、より低次の多項式により、対象線を区間ごとに近似/補間する方法が考えられる。すなわち、各制御点ごとの前後数点からの近似による小曲線要素の集団が一本に連なった曲線が、スプライン曲線である。

「N次スプライン」の「N」は、多項式の最高次元数である。また、由来であるスプラインは、曲率の2乗積分が最小となるような3次曲線と考えられ、その意味で特に3次スプライン曲線^[4]が典型的かつ代表的なものと言える。

B-スプライン曲線は、前節までで述べたような（伝統的な）スプラインとは異なり、制御点を必ずしも通らないスプライン曲線である。「ベジェ曲線とB-スプライン曲線」といったように対比される場合、3次B-スプライン曲線のことが多い（ベジェ曲線もスプライン曲線の一種と言えなくもないが）。また、端の制御点が曲線の端点でもあるような場合は、端の制御点（制御ノット）を多重ノットとした、一種の非一様B-スプライン曲線である（NURBSの記事も参照）。

スプライン曲線は様々な場面で利用されている。