ネロンモデル
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代数幾何学において、デデキント整域 R の商体 K 上定義された アーベル多様体 AK の ネロンモデル (Néron model)、あるいはネロン極小モデル (Néron minimal model)、極小モデル (minimal model) とは、AK の Spec(K) から Spec(R) への「押し出し」であり、いいかえれば、AK に対応する R 上定義された「最良の」群スキームである。
アンドレ・ネロンは剰余体が完全であるようなデデキント整域の商体上定義されたアーベル多様体に対しネロンモデルを構成し[1][2]、ミシェル・レイノーはこの構成をすべてのデデキント整域上の準アーベル多様体 (semiabelian variety) に対して拡張した[3]。
R をデデキント整域、K を R の商体とし、AK を K 上の滑らかで分離的なスキーム（例えばアーベル多様体）とする。 このとき、AK のネロンモデルとは、生成点におけるファイバーが AK であるような R 上の滑らかで分離的なスキーム AR であって、次の普遍性をみたすもののことである[4]。
- R 上の任意の滑らかで分離的なスキーム X に対し、XK から AK への任意の K 上の射が X から AR への R 上の射に一意的に拡張される。
特に、標準的な写像 AR(R) → AK(K) は同型射である。 上の普遍性より、ネロンモデルが存在すれば、それは一意な同型を除き一意的に定まる[5]。
層のことばを用いれば、ネロンモデルは次のように特徴づけることができる。 Spec(K) 上のスキーム A により表現される関手は、Spec(K) 上の滑らかなスキームのなす圏に平滑位相 (smooth topology) を備えた景上の層を定める。 この層の Spec(K) から Spec(R) への単射による順像は Spec(R) 上の層を定める。 この層があるスキームにより表現可能であれば、そのスキームが A のネロンモデルとなる。
一般に、スキーム AK がネロンモデルをもつとは限らない。 アーベル多様体 AK に対してはネロンモデルは存在して、R 上の準射影的な[6]可換群スキームとなる[7]。 ネロンモデルの Spec(R) の閉点におけるファイバーは滑らかな可換代数群であるが、アーベル多様体であるとは限らない。 たとえば、不連結であったり、トーラスであったりする場合もある。 ネロンモデルは、アーベル多様体以外の特定の可換群に対しても存在するが、それらは局所有限型にしかならない。 ネロンモデルは加法群 Ga に対しては存在しない。