ハザード比

ハザード比とその信頼区間を取得するために回帰モデルが用いられる^[1]。

瞬間ハザード率（instantaneous hazard rate）は、時間間隔を0に近づけたとき、単位時間当たりの事象数をリスクのある数で割った値の極限である。

${\displaystyle h(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathrm {observed\;events\;in\;interval} [t,t+\Delta t]/N(t)}{\Delta t}}}$

ここで、${\displaystyle N(t)}$ は、区間開始時のハザードの数（たとえば被験者数）である。ハザードとは、ある患者が時間 ${\displaystyle t}$ まで生存したとき、${\displaystyle t}$ から ${\displaystyle t+\Delta t}$ の間に事象が起こる確率を、${\displaystyle \Delta t}$ を0に近づけたときの ${\displaystyle \Delta t}$ で割ったものである^[2]。

ハザード比は、所属群（たとえば、治療群か対照群か、男性か女性か）の違いによるハザード率への影響のことで、ハザード比の対数を、ベースラインハザード ${\displaystyle h_{0}(t)}$ と説明変数の線形結合の関数とする回帰モデルによって推定する。

${\displaystyle \log h(t)=f(h_{0}(t),\alpha +\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{k}X_{k}).\,}$

このようなモデルは一般に比例ハザード回帰モデルに分類され、Coxセミパラメトリック比例ハザードモデル、指数モデル^[1][3]、ゴンペルツモデル、ワイブルパラメトリックモデルがよく知られている。

治療条件のみが異なる2群の場合、ハザード関数の比は ${\displaystyle e^{\beta }}$ で与えられ、ここで ${\displaystyle \beta }$ は回帰モデルから得られた治療効果の推定値である。このハザード比、すなわち一方の群のメンバーに対する予測ハザードと他方の群のメンバーに対する予測ハザードの比は、他のすべてを一定にすることによって、換言すればハザード関数の比例性を仮定することで得られる^[2]。

連続的な説明変数の場合は、単位差と同じ解釈ができる。他のハザード比モデルでは、異なる定式化がなされており、それに応じてパラメータ推定値の解釈も異なる。