バーンスタイン多項式

バーンスタイン多項式はバーンスタイン基底関数の線形結合で与えられる多項式である（⇒#定義）。n 次のバーンスタイン多項式は任意の高々 n 次の多項式を表現できるため^[2]、バーンスタイン多項式は多項式の別形式での表現であるといえる（⇒#特性）^[1]。

バーンスタイン形式の数値的に安定な手法は、ド・カステリョのアルゴリズムとして知られている。

バーンスタイン多項式はセルゲイ・ベルンシュテインが確率論を用いてワイエルシュトラスの近似定理の別証明をする際に初めて導入された（Bernstein 1912）。のちに彼の名を取ってバーンスタイン多項式と呼ばれるようになった。

コンピュータ・グラフィックスの出現により、 x ∈ [0, 1] の範囲におけるバーンスタイン多項式は、ベジェ曲線の重要な要素となった。

バーンスタイン基底関数は以下のような式となる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&b_{0,0}(x)=1&&&&\\&b_{0,1}(x)=1-x&&b_{1,1}(x)=x&&\\&b_{0,2}(x)=(1-x)^{2}&&b_{1,2}(x)=2x(1-x)&&b_{2,2}(x)=x^{2}\end{aligned}}}$

[0, 1] の範囲において連続な関数 f (x) を用いたバーンスタイン多項式

${\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}$

は、[0, 1] の範囲で以下のように、一様に収束する。

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }B_{n}(f)(x)=f(x)}$

このことは、各点収束するが一様収束はしないという命題に比べ、より強い命題である。この一様収束は、以下のように明確に示される。

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{0\leq x\leq 1}\left|f(x)-B_{n}(f)(x)\right|=0.}$

上述のように、バーンスタイン多項式はワイエルシュトラスの近似定理の証明にも用いられる。

また、より一般的に、連続な k 次導関数についても、

${\displaystyle \|B_{n}(f)^{(k)}\|_{\infty }\leq {(n)_{k} \over n^{k}}\|f^{(k)}\|_{\infty }{\text{ and }}\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\|_{\infty }\rightarrow 0,}$

であることが示せる。ここで ${\displaystyle {(n)_{k} \over n^{k}}=\left(1-{0 \over n}\right)\left(1-{1 \over n}\right)\cdots \left(1-{k-1 \over n}\right)}$ は ${\displaystyle B_{n}}$ の固有値である。

${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu }}$

は確率 x で事象 p が起こる試行を n 回繰り返したとき、事象 p がちょうどν回起こる確率を表す。試行をn回繰り返す場合において、p が ν 回起こったときに得られる確率変数をf (ν/n)とすると、

${\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}$

は期待値を表す。 一方、n 回試行を繰り返す場合、事象 p が起こる回数は平均して nx である。よって、平均して得られる確率変数、すなわち期待値は f (nx/n) = f (x) であると考えられる。今 ν や n は整数で、x は n を分母とする有理数とは限らないので B_n (f ) (x)と f (x) の誤差も 0 とは限らないが、n を大きくしていくと両者の誤差は 0 に近づいていくと考えられるので、

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }B_{n}(f)(x)=f(x)}$

が成り立つ。