ヒルベルトの定理90

K/k を2次拡大 ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q} }$とする。ガロア群は位数2の巡回群であり、生成元 σ は複素共役である。

${\displaystyle \sigma$ :\,\,c-di\mapsto c+di\ .}

K の元 ${\displaystyle x=a+bi}$ はノルム ${\displaystyle xx^{\sigma }=a^{2}+b^{2}}$ を持つ。 ノルムが1の元は ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$ の有理数解，もしくは単位円上の有理数点に対応する。 ヒルベルトの定理90によるとノルムが1の元 y は整数 c と d で次のように表すことができる。

${\displaystyle y={\frac {c+di}{c-di}}={\frac {c^{2}-d^{2}}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {2cd}{c^{2}+d^{2}}}i.}$

これは単位円上の有理数点のパラメーター付けを表している。 単位円${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$上の有理数点${\displaystyle \,(x,y)=(a/c,b/c)}$は${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}=c^{2}}$を満たすピタゴラス数${\displaystyle \,(a,b,c)}$を表す。

• クンマー理論
• アルティン・シュライアー理論
• 群コホモロジー
• ガロワ・コホモロジー

ウィキソースにDavid Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Erster Band, 7. Kapitel, Satz 90の原文があります。

• Serge Lang (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 211 (Rev. 3rd ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4 
• 桂利行『代数学III 体とガロア理論』東京大学出版会〈大学数学の入門3〉、2005年。ISBN 978-4-13-062953-9。 
• 雪江明彦『代数学2 環と体とガロア理論』日本評論社、2010年。ISBN 978-4-535-78660-8。 

この項目は、抽象代数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。

• 表示
• 編集