ビネ・コーシーの恒等式

右辺第2項を展開すると

${\displaystyle {\begin{aligned}&\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})\\&=\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum \limits _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}\\&=\left(\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}+\sum \limits _{1\leq j<i\leq n}+\sum \limits _{1\leq i=j\leq n}\right)a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\left(\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}+\sum \limits _{1\leq j<i\leq n}+\sum \limits _{1\leq i=j\leq n}\right)a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}\\&=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle 1\leq i\leq n \atop \scriptstyle 1\leq j\leq n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum \limits _{\scriptstyle 1\leq i\leq n \atop \scriptstyle 1\leq j\leq n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}\\&=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)\end{aligned}}}$

となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算の可換性を用いている。)

n = 3, ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ のとき

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)&=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})(c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1})\\&+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})(c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2})\\&+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})(c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1})\\({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})&=({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{3}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{3}\\&+({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{1}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{1}\\&+({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{2}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{2}\end{aligned}}}$

すなわち、クロス積のスカラー四重積の公式

${\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\quad ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}\in \mathbb {R} ^{3})}$

が得られる。（この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。）

この式をスカラー三重積の性質を使って変形すれば

${\displaystyle {\begin{aligned}\{({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}\}\cdot {\boldsymbol {d}}&=\left\{({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}\right\}\cdot {\boldsymbol {d}}\\\therefore ~({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}\end{aligned}}}$

とベクトル三重積の公式が得られる。

また、c = a, d = b とおくと、

${\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\|^{2}=\|{\boldsymbol {a}}\|^{2}\|{\boldsymbol {b}}\|^{2}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})^{2}\quad ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{3})}$

と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。

以下の定理はコーシー・ビネの公式として知られている一般化である：

n を自然数とし、集合 {1, …, n} を [n] と表記する。m を非負整数として、A を m × n行列、B を n × m行列とする。 S を [n] から m 個を選んだ部分集合とし、A_S を A の n個の列から S に含まれる添字の列を取り出して得られた m × m行列、B^S を B の n個の行から S に含まれる添字の行を取り出して得られた m × m行列とする。

m × m行列である積 AB の行列式は

${\displaystyle \det(AB)=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})}$

となる。ただし、和において、S は、[n] の部分集合で要素数が m のものすべてを取るとする。

特別な場合として、m = 2 として

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}}}$

を適用すれば

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}&\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\\\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}c_{i}&\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}d_{i}\end{vmatrix}}=\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}{\begin{vmatrix}a_{i}&a_{j}\\b_{i}&b_{j}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c_{i}&d_{i}\\c_{j}&d_{j}\end{vmatrix}}}$

となり、ビネ・コーシーの恒等式が得られる。