ファン・スコーテンの定理

ファン・スコーテンの定理（ファン・スコーテンのていり、英: Van Schooten's theorem）とはオランダの数学者フランス・ファン・スコーテン（英語版）に由来して名づけられた、正三角形に関する定理である。

正三角形 $△ ABC$ とその外接円上の点 $P$ について $PA, PB, PC$ のうち最も長いものの長さは、他二つの長さの和と等しい。

この定理はトレミーの定理の系である。正三角形 $△ ABC$ の辺長を $a$ 、 $PA, PB, PC$ のうち最も長い辺を $PA$ とすれば、トレミーの定理によって次の式が成立する

${\begin{aligned}&|BC|\cdot |PA|=|AC|\cdot |PB|+|AB|\cdot |PC|\\[6pt]\Longleftrightarrow &a\cdot |PA|=a\cdot |PB|+a\cdot |PC|\end{aligned}}$

正奇数角形

正 $2 n + 1$ 角形 $A 1 A 2 ... A 2 n + 1$ の外接円の弧 $A 1 A 2 n + 1$ 上の点 $P$ について、

$\sum _{k=0}^{n}\left|A_{2k+1}P\right|=\sum _{k=1}^{n}\left|A_{2k}P\right|$

が成立する^[1]。

例

正五角形 $ABCDE$ の外接円の弧 $AE$ 上の点 $P$ について、

が成立する^[2]^[3]^[4]。

一般の三角形

Bui Quang Tuanによる一般化を紹介する。 $△ ABC$ とその外接円上の点 $P$ について、 $P$ と $BC, CA, AB$ の距離をそれぞれ $d a, d b, d c$ とすれば、 $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}BC/da, CA/db, AB/dc$ のうち、最も長いものの長さは、そのほかの2つの長さの和と等しい^[5]。さらに、円内接多角形 $X 1 X 2 X 3 ... X n$ について、その外接円の弧 $X 1 X 2$ 上の点 $P$ を作る。このとき、 $P$ と辺 $X i X i+1$ の距離を $d i$ とすれば、

${\frac {X_{1}X_{2}}{d_{1}}}=\sum _{i=2}^{n}{\frac {X_{i}X_{i+1}}{d_{i}}}$

が成立する（ $X n +1 = X 1$ とする）。

ファン・スコーテンの定理

正奇数角形

例

一般の三角形

出典

参考文献

関連項目

外部リンク

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