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以下ではカイラル表現（ワイル表現）により、ディラック・スピノル ψ は左右のカイラリティが上下の2成分で分かれているとする。すなわち

${\displaystyle \psi =\psi _{\rm {L}}+\psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\xi \\0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\{\bar {\eta }}\\\end{pmatrix}}}$,

ここで ξ, η はそれぞれ2成分スピノル（ワイル・スピノル）。

点なし添字

下付の点なし（ドットなし, undotted）添字をもつスピノルはカイラリティ左巻きであり、カイラル・スピノルとも呼ばれる。

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}={\begin{pmatrix}\xi _{\alpha }\\0\end{pmatrix}}}$.^{[注釈 1]}

点付き添字

上付きの点付き（ドット付き, dotted）添字と記号の上^{[注釈 2]}に上線（バー）をもつスピノルは右巻きであり、反カイラル・スピノルとも呼ばれる。

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}0\\{\bar {\eta }}^{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}}$.^{[注釈 1]}

添え字を欠く記法においても、曖昧さを無くすため右巻きワイル・スピノルには上線が残される。

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ハットが付く添字はディラック添字と呼ばれ、点付きと点なし添字をまとめたものである。例えば、もしそれぞれの添字が

${\displaystyle \alpha =1,2,\,\,{\dot {\alpha }}={\dot {1}},{\dot {2}}}$

を動くのなら、カイラル表現の下でディラック・スピノル ψ は次のように表示される:

${\displaystyle \psi _{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\xi _{\alpha }\\{\bar {\eta }}^{\dot {\alpha }}\\\end{pmatrix}}}$,

ここで

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=(\alpha ,{\dot {\alpha }})=1,2,{\dot {1}},{\dot {2}}}$.

また ψ のディラック共役 ψ = ψ^†γ⁰ はこのとき

${\displaystyle \psi ^{\hat {\alpha }}={\begin{pmatrix}\eta ^{\alpha }&{\bar {\xi }}_{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}}$

と表記される。すなわち η^α = (η^·α)^∗, ξ_·α = (ξ_α)^{∗[注釈 3]}、上線と添字の点が複素共役を意味することが分かる。

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スピノルの荷電共役変換（C 変換）は次のように表される:

${\displaystyle \psi \;{\overset {\rm {C}}{\longrightarrow }}\;\psi ^{\rm {C}}=C{\overline {\psi }}^{\rm {T}}}$,

ここで C は荷電共役行列であり、カイラル表現においては

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}\varepsilon &0\\0&-\varepsilon \end{pmatrix}}}$

である。ただし

${\displaystyle \varepsilon =i\sigma _{2}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$,

ここで ε_ij は2階の完全反対称テンソルである。

よって

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\xi _{\alpha }\\{\bar {\eta }}^{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}\;{\overset {\rm {C}}{\longrightarrow }}\;\psi ^{\rm {C}}=C{\begin{pmatrix}\eta ^{\alpha }\\{\bar {\xi }}_{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{\alpha \beta }\eta ^{\beta }\\\varepsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}{\bar {\xi }}_{\dot {\beta }}\end{pmatrix}}}$,

ここで ε^·α·β はクロネッカーのデルタ δ を用いた ε_αβ ε^βγ = δ_α^γ によって定義され、ε_ij = −ε^ij を満たす。^{[注釈 4]}

これまでの整合性から

${\displaystyle (\psi _{\rm {L}})^{\rm {C}}={\begin{pmatrix}0\\{\bar {\xi }}^{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}},\quad (\psi _{\rm {R}})^{\rm {C}}={\begin{pmatrix}\eta _{\alpha }\\0\end{pmatrix}}}$

とすると、

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\eta _{\alpha }\\{\bar {\xi }}^{\dot {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{\alpha \beta }\eta ^{\beta }\\\varepsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}{\bar {\xi }}_{\dot {\beta }}\end{pmatrix}}}$.

すなわち η_α, ξ^·α の添字の上げ下げには、2階の完全反対称テンソル ε_αβ が用いられることが分かる。^[5][6]

1. [1]

   ここで ξ_α, η^·α はそれぞれの成分ではなく、成分の集合 (ξ₁ ξ₂)^T, (η^·1 η^·2)^T であることに注意。^[3]
2. [2]

   添字の上にではない
3. [3]

   ここでは成分同士の等式となっている。
4. [4]

   これらの表記を用いると、荷電共役行列 C は次のように表される:^[4]

   ${\displaystyle C={\begin{pmatrix}\varepsilon _{\alpha \beta }&0\\0&\varepsilon ^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}\end{pmatrix}}}$.