ファン・ホーベ特異点

N粒子サイトからなる1次元格子を考える。 各粒子サイト間の距離はaで、全長はL = Naとする。 ここで、この1次元の箱の中に定在波があると仮定するのではなく、周期的境界条件を用いるのが便利である。 ^[2]

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}=n{\frac {2\pi }{L}}}$

ここで${\displaystyle \lambda }$は波長、nは整数である。 正の整数は前進する波、負の整数は後進する波を表す。

この格子中の波動の波長は最短で2aであり、このとき最大の波数${\displaystyle k_{max}=\pi /a}$となり、|n|は最大値${\displaystyle n_{max}=L/2a}$となる。 状態密度g(k)dkを、波数ベクトルがkからk+dkである定在波の数として定義する。 ^[3]

${\displaystyle g(k)dk=dn={\frac {L}{2\pi }}\,dk}$

3次元に拡張すると、箱の中の状態密度は、

${\displaystyle g({\vec {k}})d^{3}k=d^{3}n={\frac {L^{3}}{(2\pi )^{3}}}\,d^{3}k}$

ここで${\displaystyle d^{3}k}$はk空間での体積要素である。 また電子では2つスピンの方向を考慮して、因子２を掛ける必要がある。 連鎖律により、エネルギー空間でのDOSは次のように表せる。

${\displaystyle dE={\frac {\partial E}{\partial k_{x}}}dk_{x}+{\frac {\partial E}{\partial k_{y}}}dk_{y}+{\frac {\partial E}{\partial k_{z}}}dk_{z}={\vec {\nabla }}E\cdot d{\vec {k}}}$

ここで${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$はk空間での勾配である。

k空間での位置の組（粒子エネルギーEに対応）はk空間で面を作り、Eの勾配はこの面の全ての点と直交するベクトルである。 ^[4] このエネルギーEについての関数である状態密度は、

${\displaystyle g(E)dE=\iint _{\partial E}g({\vec {k}})\,d^{3}k={\frac {L^{3}}{(2\pi )^{3}}}\iint _{\partial E}dk_{x}\,dk_{y}\,dk_{z}}$

ここで積分は定数Eの面${\displaystyle \partial E}$にわたり行う。

${\displaystyle k'_{z}\,}$が面に直交し、Eの勾配に平行となるような新しい座標系${\displaystyle k'_{x},k'_{y},k'_{z}\,}$を選ぶことができる。 この座標系が元の座標系の回転であれば、k'空間の体積要素は、

${\displaystyle dk'_{x}\,dk'_{y}\,dk'_{z}=dk_{x}\,dk_{y}\,dk_{z}}$

dEは次のように書ける。

${\displaystyle dE=|{\vec {\nabla }}E|\,dk'_{z}}$

g(E)の式に代入すると、

${\displaystyle g(E)={\frac {L^{3}}{(2\pi )^{3}}}\iint {\frac {dk'_{x}\,dk'_{y}}{|{\vec {\nabla }}E|}}}$

ここで${\displaystyle dk'_{x}\,dk'_{y}}$項は、定E面の面積要素である。 ${\displaystyle g(E)}$の式は、分散関係${\displaystyle E({\vec {k}})}$が極値となる${\displaystyle k}$点でDOSの被積分関数が発散することを意味している。 ファン・ホーベ特異点はこれらの${\displaystyle k}$点でのDOS関数で起こる性質である。

詳細な解析^[5]によると、3次元空間ではバンド構造が極大か、極小か、または鞍点かに依存して4種類のファン・ホーベ特異点がある。 3次元ではDOSの微分が発散してもDOS自身は発散しない。 関数g(E)は平方根特異性（図を参照）をもつ傾向にある。 自由電子のフェルミ面では、

${\displaystyle E=\hbar ^{2}k^{2}/2m}$

${\displaystyle |{\vec {\nabla }}E|=\hbar ^{2}k/m=\hbar {\sqrt {\frac {2E}{m}}}}$.

2次元でのDOSは鞍点で対数的に発散し、1次元でのDOSは${\displaystyle {\vec {\nabla }}E}$がゼロとなるところで無限となる。

固体の光吸収スペクトルは、バンド構造からフェルミの黄金律を用いて計算される。 そこで評価される行列要素は双極子演算子${\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {p}}}$である。 ここで${\displaystyle {\vec {A}}}$はベクトルポテンシャル、${\displaystyle {\vec {p}}}$は運動量演算子である。

フェルミの黄金律で現れる状態密度は結合状態密度（JDOS）で、与えられた光子エネルギーで分離される伝導帯と価電子帯での電子状態の数である。 光吸収は、双極子演算子の行列要素（振動子強度）とJDOSの積によるものである。

2次元と1次元でのDOSの発散は数学的に予想されており、容易に観測できる。 グラファイト（擬２次元）やBechgaard塩（擬1次元）のような異方性固体では、ファン・ホーベ特異点によるスペクトルの異常がみられる。 ファン・ホーベ特異点は擬1次元系である単層カーボンナノチューブ（SWNT）の光強度で重要となる。 グラフェンのディラック点はファン・ホーベ特異点であり、グラフェンが電気的中性のときの電気抵抗のピークとして観測される。 ねじれたグラフェン層も、層間のカップリングによる状態密度のファン・ホーベ特異点を示す^[6]。

1. ↑ L. Van Hove, "The Occurrence of Singularities in the Elastic Frequency Distribution of a Crystal," Phys. Rev. 89, 1189–1193 (1953).
2. ↑ See equation 2.9 in http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/BandMT_02.pdf From ${\displaystyle \phi (x+L)=\phi (x)}$ we have ${\displaystyle kL=2n\pi }$
3. ↑
   • M. A. Parker(1997-2004)"Introduction to Density of States" Marcel-Dekker Publishing p.7. Archived September 8, 2006, at the Wayback Machine.
4. ↑
   • Ziman, John (1972). Principles of the Theory of Solids. Cambridge University Press. ISBN B0000EG9UB 
5. ↑
   • Bassani, F.; Pastori Parravicini, G. (1975). Electronic States and Optical Transitions in Solids. Pergamon Press. ISBN 0-08-016846-9  This book contains an extensive discussion of the types of Van Hove singularities in different dimensions and illustrates the concepts with detailed theoretical-versus-experimental comparisons for Ge and graphite.
6. ↑ I. Brihuega et al., Physical Review Letters 109, 196802 (2012).