フォドアの補題

証明 — このような定常集合 ${\displaystyle S_{0}}$ が存在しないとすれば、任意の ${\displaystyle \gamma <\kappa }$ に対し ${\displaystyle f^{-1}(\gamma )}$ (${\displaystyle =\{\alpha \in S:f(\alpha )=\gamma \}}$) は非定常である。ゆえに各 ${\displaystyle \gamma <\kappa }$ について ${\displaystyle f^{-1}(\gamma )}$ と交わらないclub集合 ${\displaystyle C_{\gamma }}$ が取れ、任意の ${\displaystyle \alpha \in S\cap C_{\gamma }}$ について ${\displaystyle f(\alpha )\neq \gamma }$ である。これらの族 ${\displaystyle (C_{\gamma })_{\gamma <\kappa }}$ の対角線共通部分を ${\displaystyle C:=\Delta _{\gamma <\kappa }C_{\gamma }}$ (${\displaystyle =\{\beta <\kappa$ :\beta \in \bigcap _{\gamma <\beta }C_{\gamma }\}} ) とおく。${\displaystyle \kappa }$ が正則より対角線共通部分 ${\displaystyle C}$ は再びclubとなり、${\displaystyle S}$ が定常なので ${\displaystyle S\cap C}$ も定常である。(${\displaystyle 0\neq }$) ${\displaystyle \alpha \in S\cap C}$ を一つ選ぶ。このとき ${\displaystyle \alpha \in \bigcap _{\gamma <\alpha }C_{\gamma }}$ であり、全ての ${\displaystyle \gamma <\alpha }$ に対して ${\displaystyle \alpha \in C_{\gamma }}$ である。よってどんな ${\displaystyle \gamma <\alpha }$ についても、${\displaystyle \alpha \notin f^{-1}(\gamma )}$ すなわち ${\displaystyle f(\alpha )\neq \gamma }$。従って ${\displaystyle f(\alpha )\geq \alpha \in S}$ となるが、${\displaystyle f}$ が押し下げ関数だったことに矛盾する。//