正則基数

${\displaystyle \omega }$ 未満の順序数は有限順序数である。有限順序数の有限列は最大元をもつため、${\displaystyle \omega }$ は ${\displaystyle \omega }$ 未満の順序数による順序型 ${\displaystyle \omega }$ 未満の列の極限にはならない。したがって、${\displaystyle \omega }$ は正則順序数である。アレフ数 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ は、その始順序数である ${\displaystyle \omega }$ が正則であるため、正則基数である。直接に正則性を示すこともできる。有限基数の有限個の和はそれ自身有限だからである。

${\displaystyle \omega +1}$ は ${\displaystyle \omega }$ より大きい次の順序数であり、極限順序数でないから特異順序数である。${\displaystyle \omega +\omega }$ は ${\displaystyle \omega }$ の次の極限順序数である。これは ${\displaystyle \omega }$, ${\displaystyle \omega +1}$, ${\displaystyle \omega +2}$, ${\displaystyle \omega +3}$,…といった順序型 ${\displaystyle \omega }$ の列の極限であるため、特異順序数となる。

${\displaystyle \aleph _{1}}$ は ${\displaystyle \aleph _{0}}$ の次の基数である。${\displaystyle \aleph _{1}}$ 未満の基数は高々可算な基数である。選択公理を仮定すると、可算集合の可算和は可算集合である。ゆえに、${\displaystyle \aleph _{1}}$ は可算集合の可算和で書けないので正則である。

${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ は列 ${\displaystyle \aleph _{0}}$,${\displaystyle \aleph _{1}}$,${\displaystyle \aleph _{2}}$, ${\displaystyle \aleph _{3}}$, … の次の基数である。この始順序数は ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ であり、列 ${\displaystyle \omega }$, ${\displaystyle \omega _{1}}$, ${\displaystyle \omega _{2}}$, ${\displaystyle \omega _{3}}$,… の極限である。この列の順序型は ${\displaystyle \omega }$ だから ${\displaystyle \omega _{\omega }}$,${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ は特異である。選択公理を仮定すると、 ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ は最初の無限特異濃度である（最初の無限特異順序数は ${\displaystyle \omega +1}$ であり、最初の無限極限特異順序数は ${\displaystyle \omega +\omega }$ である）。特異基数の存在を証明するには置換公理が必要である。ツェルメロ集合論では ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ の存在を証明できない。

非可算な正則な極限基数は弱到達不能基数として知られており、その存在はZFCの下では証明できず、その存在がZFCと矛盾するかどうかも知られていない。弱到達不能基数の存在はしばしば追加的な公理として採られることがある。到達不能基数はアレフ関数の不動点である必要があるが、その不動点が正則とは限らない。例えば、最初の不動点は ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},...}$ の ${\displaystyle \omega }$-列の極限で、これは特異基数である^[1]。