フォノン散乱

フォノン-フォノン散乱では、ノーマル過程（フォノン波数ベクトルが保存する過程、N過程）を無視し、ウムクラップ過程（U過程）を考える。 ノーマル過程は ω に比例し、ウムクラップ過程は ω² に比例するため、振動数が大きいときはウムクラップ散乱が支配的である^[1] 。 τ_U は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\mathrm {U} }}}=2\gamma ^{2}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{\mu V_{0}}}{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{\mathrm {D} }}}}$

ここで γ はグリュナイゼン非調和性パラメータ、μ は剛性率、 V₀ は単位原子あたりの体積、 ω_D はデバイ振動数である^[2]。

質量数の異なる不純物による散乱は次で与えられる。

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\mathrm {M} }}}={\frac {V_{0}\Gamma \omega ^{4}}{4\pi v_{\mathrm {g} }^{3}}}}$

ここで Γ は不純物散乱長の尺度。v_g は分散曲線に依存する。

境界散乱は低次元のナノ構造において特に重要であり、緩和時間は次で与えられる。

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\mathrm {B} }}}={\frac {V}{D}}(1-p)}$

ここで D は系の次元、p は表面粗さパラメータを表す。 p = 1 の場合は完全に滑らかな表面を意味し、散乱は純粋な鏡面反射で、緩和時間は∞である。よって境界散乱は熱輸送に影響しない。 p = 0 は非常に粗い表面を意味し、散乱は純粋に拡散的で、次のように表せる。

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\mathrm {B} }}}={\frac {V}{D}}}$

この式はカシミール極限として知られている^[3]。

物質が高濃度にドープされたときには、フォノン-電子散乱の寄与も重要になる。 これに対応する緩和時間は次で与えられる。

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\mathrm {ph-e} }}}={\frac {n_{e}\epsilon ^{2}\omega }{\rho V^{2}k_{\mathrm {B} }T}}{\sqrt {\frac {\pi m^{*}V^{2}}{2k_{\mathrm {B} }T}}}\exp \left(-{\frac {m^{*}V^{2}}{2k_{\mathrm {B} }T}}\right)}$

パラメータ n_e は伝導電子濃度、ε は変形ポテンシャル、ρ は質量密度、m^* は電子の有効質量である^[2] 。 通常はフォノン-電子散乱による熱伝導への寄与は無視できると仮定される。

• 格子散乱