フォワード測度

以下の記述はMusiela and Rutkowski & (2004)に基づく。

まずニュメレールとしての銀行口座、もしくはマネーマーケットアカウントを以下のように定義する。

${\displaystyle B(T)=\exp \left(\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)}$

更に時点0から満期 T までの割引ファクターを以下のように定義する。

${\displaystyle D(T)=1/B(T)=\exp \left(-\int _{0}^{T}r(u)\,du\right)}$

もし ${\displaystyle Q_{*}}$ がリスク中立測度ならば、フォワード測度 ${\displaystyle Q_{T}}$ はラドン–ニコディム微分として以下のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {1}{B(T)E_{Q_{*}}[1/B(T)]}}={\frac {D(T)}{E_{Q_{*}}[D(T)]}}.}$

上の式は利子率が非確率的ならばフォワード測度とリスク中立測度は一致することを意味している。また、ニュメレールを銀行口座もしくはマネーマーケットアカウント B(t) から満期 T の債券 P(t,T) に変えた際のニュメレール変換公式の一つでもある。実際、時点 t における満期 T のゼロクーポン債価格が

${\displaystyle P(t,T)=E_{Q_{*}}\left[{\frac {B(t)}{B(T)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]=E_{Q_{*}}\left[{\frac {D(T)}{D(t)}}|{\mathcal {F}}(t)\right]}$

と書けるならば（ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$ は時点 t における市場の情報を表すフィルトレーションである）、

${\displaystyle {\frac {dQ_{T}}{dQ_{*}}}={\frac {B(0)P(T,T)}{B(T)P(0,T)}}}$

と書ける。この式より、T–フォワード測度はニュメレールとしての満期 T のゼロクーポン債と関連していることが明確になる。 より詳細な議論についてはBrigo and Mercurio & (2006)を参照せよ。