フレドホルム核

B を任意のバナッハ空間とし、B^* をその双対空間、すなわち、B 上の有界線型汎函数からなる空間とする。テンソル積 ${\displaystyle B^{*}\otimes B}$ には、ノルム

${\displaystyle \Vert X\Vert _{\pi }=\inf \sum _{\{i\}}\Vert e_{i}^{*}\Vert \Vert e_{i}\Vert }$

の下での完備化が存在する。但しここで、上式の下限は、すべての有限な表現

${\displaystyle X=\sum _{\{i\}}e_{i}^{*}e_{i}\in B^{*}\otimes B}$

に関して取られるものとする。

そのようなノルムの下での完備化は、しばしば

${\displaystyle B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B}$

のように記述され、射影位相テンソル積（英語版）と呼ばれる。この空間の元が、フレドホルム核と呼ばれる。

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すべてのフレドホルム核は、次のような形式で表現することが出来る：

${\displaystyle X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}\otimes e_{i}}$

ここで ${\displaystyle e_{i}\in B}$ および ${\displaystyle e_{i}^{*}\in B^{*}}$ は ${\displaystyle \Vert e_{i}\Vert =\Vert e_{i}^{*}\Vert =1}$ を満たすようなものであり、

${\displaystyle \sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert <\infty \,}$

が成立している。

そのような核に対応するものは、正準表現

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(f)\otimes e_{i}\,}$

の存在する線型作用素

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:B\to B}$

である。

すべてのフレドホルム核に対応するものは、

${\displaystyle {\mbox{tr}}X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(e_{i})\,}$

で定義される、トレースである。

フレドホルム核は、

${\displaystyle \sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert ^{p}<\infty }$

が成立するとき、p-総和可能（p-summable）であると言われる。

フレドホルム核は、それが p-総和可能であるようなすべての ${\displaystyle 0<p\leq 1}$ についての下限が q であるとき、次数 q であると言われる。

作用素 ${\displaystyle {\mathcal {L}}:B\to B}$ は、${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{X}}$ であるような ${\displaystyle X\in B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B}$ が存在するとき、核作用素であると言われる。そのような作用素が p-総和可能あるいは次数 q であるとは、X がそれらの性質を満たすことを言う。一般的に、そのような核作用素の対応する核 X は唯一つであるとは限らない。したがって、そのトレースは一意には定まらない。しかし、次数が ${\displaystyle q\leq 2/3}$ を満たすなら、そのトレースは一意に定まる。これはグロタンディークの定理によるものである。

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${\displaystyle {\mathcal {L}}:B\to B}$ をある作用素とする。その次数が ${\displaystyle q\leq 2/3}$ を満たすなら、そのトレースは

${\displaystyle {\mbox{Tr}}{\mathcal {L}}=\sum _{\{i\}}\rho _{i}}$

のように定義されうる。ここで、${\displaystyle \rho _{i}}$ は ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ の固有値とする。また、そのフレドホルム行列式は、z の整関数

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\prod _{i}\left(1-\rho _{i}z\right)}$

である。関係式

${\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\exp {\mbox{Tr}}\log \left(1-z{\mathcal {L}}\right)}$

も同様に成立する。最後に、${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ がある複素数値パラメータ w によって関連付けらなら、すなわち、${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}}$ であり、そのパラメータ付けがある領域上で正則であるなら、

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}}$

も同じ領域上で正則となる。