ブール論理

ブール論理では、命題の真理値を通常 1 と 0、あるいは真と偽で表す。基本演算は、論理積（AND）、論理和（OR）、否定（NOT）であり、これらはそれぞれブール代数における積・和・補元に対応する。^[2]

このような二値的枠組みは、古典命題論理の意味論を与える最も基本的な形式である。代数的論理学の観点からは、古典命題論理の自然な代数的対応物はブール代数のクラスである。^[1]

名称はジョージ・ブールに由来する。ブールは19世紀中葉に論理を代数的記号操作として表現する方法を提案し、後の「論理の代数」の伝統の出発点となった。^[3]

20世紀には、ブール的演算はスイッチング理論や論理回路に応用され、電子計算機の基礎理論の一部となった。これにより、ブール論理は数学・論理学にとどまらず、情報工学の基盤概念としても広く用いられるようになった。^[3]

ブール論理の基本演算は次の三つである。^[2]

• 論理積（AND, ${\displaystyle \land }$）
• 論理和（OR, ${\displaystyle \lor }$）
• 否定（NOT, ${\displaystyle \lnot }$）

これらに加え、排他的論理和（XOR）、否定論理積（NAND）、否定論理和（NOR）などの派生演算も用いられる。とくに NAND や NOR は、論理回路設計において重要である。

集合による解釈では、AND は共通部分、OR は和集合、NOT は補集合に対応する。この対応は、ブール論理が集合の演算と同一の形式法則に従うことを示す説明手段として用いられる。^[2][3]

ブール論理では、複合命題の真理値は、各結合子に対応する真理値表によって定められる。これは古典命題論理の標準的な二値意味論である。^[1]

二項演算 AND と OR、および単項演算 NOT の真理値表は次のように表される。

ブール論理では、論理積と論理和について交換法則、結合法則、分配法則、吸収法則などが成り立つ。また、否定についてはド・モルガンの法則が成り立つ。これらの恒等式により、論理式を同値なより簡潔な形へ変形することができる。^[2]

これらの法則は、古典命題論理の式変形だけでなく、論理回路の簡約や条件式の整理にも利用される。^[3]

代表的な恒等式としては次がある。

• ${\displaystyle A\land B=B\land A}$ （交換法則）
• ${\displaystyle A\lor B=B\lor A}$ （交換法則）
• ${\displaystyle (A\land B)\land C=A\land (B\land C)}$ （結合法則）
• ${\displaystyle (A\lor B)\lor C=A\lor (B\lor C)}$ （結合法則）
• ${\displaystyle A\land (B\lor C)=(A\land B)\lor (A\land C)}$ （分配法則）
• ${\displaystyle A\lor (B\land C)=(A\lor B)\land (A\lor C)}$ （分配法則）
• ${\displaystyle A\lor (A\land B)=A}$ （吸収法則）
• ${\displaystyle A\land (A\lor B)=A}$ （吸収法則）
• ${\displaystyle \lnot (A\land B)=\lnot A\lor \lnot B}$ （ド・モルガンの法則）
• ${\displaystyle \lnot (A\lor B)=\lnot A\land \lnot B}$ （ド・モルガンの法則）

ブール論理では、命題変項に 0 または 1 の値を割り当て、複合命題の値を結合子に従って計算する。これは古典命題論理の通常の真理値表意味論にほかならない。^[1]

代数的観点からみると、古典命題論理の二値真理値の代数から生成される類はブール代数の類である。したがって、論理的同値や恒真式は、ブール代数における等式や恒等式として理解することができる。^[1][2]

この対応は、論理式を代数式として変形・簡約できることを意味し、論理学と代数学の結びつきの基本例とされる。^[1]

ブール代数は、補元を備えた分配束として定義される抽象代数的構造である。これに対してブール論理は、そのような構造を通じて表現される二値命題論理の側面を指す。^[2]

すなわち、ブール代数が数学的対象そのものを表す語であるのに対し、ブール論理は論理演算、真理値、推論対象となる命題の取扱いを強調する語である。ただし両者は密接に関係しており、古典命題論理の自然な代数的意味論としてブール代数が与えられる。^[1]

ブール論理は論理回路、デジタル回路設計、プログラミング言語の条件分岐、データベース検索、検索エンジンの検索演算子など、二値的条件判定を扱う多くの分野で用いられる。^[3]

論理回路では、AND、OR、NOT は対応するゲートとして実装される。検索やデータベースでは、複数条件の組合せを明示的に指定するために AND、OR、NOT が利用される。

検索や日常的な条件指定では、AND・OR・NOT に相当する結合が自然言語でも用いられる。ただし自然言語では文脈依存性や曖昧さがあるため、形式論理におけるブール論理の結合子と完全には一致しない。

ブール論理が直接に対応するのは、古典的な二値命題論理である。これに対し、直観主義論理や多値論理などでは、異なる代数的対応物が現れる。たとえば直観主義論理にはヘイティング代数が対応する。^[1]

このため、ブール論理は論理一般を尽くすものではなく、古典論理の特定の形式を表すものである。他方で、その成功は他の論理体系に対する代数的意味論の発展にも大きな影響を与えた。^[1]