プランク単位系

プランク単位系（プランクたんいけい）は、マックス・プランクによって提唱された自然単位系である。

プランク単位系では以下の物理定数の値を 1 として定義している。

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定数	記号	次元
真空中の光速度	${c}\$	L T⁻¹
万有引力定数	${G}\$	M⁻¹L³T⁻²
ディラック定数（換算プランク定数ともいう）	$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ （ ${h}\$ はプランク定数）	ML²T⁻¹
クーロン力定数	${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$ （ ${\varepsilon _{0}}\$ は真空の誘電率）	Q⁻² M L³ T⁻²
ボルツマン定数	${k}\$	ML²T⁻²Θ⁻¹

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プランク単位系は物理学者によって「神の単位」と半ばユーモラスに言及される。自然単位系は「人間中心的な自由裁量が除かれた単位系」であり、ごく一部の物理学者は「地球外の知的生命体も同じ単位系を使用しているに違いない」と信じている。

プランク単位系は、物理学者が問題を再構成するのに役立つ。一方、日常的なスケールからかけ離れたものが多いうえ、基準となる物理定数のうち万有引力定数の不確かさが大きいため、実用には不向きである。

方程式の名称	一般の単位系	プランク単位系
ニュートンの万有引力の法則	$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$	$F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$
シュレーディンガー方程式	$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)$	$-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)$
角周波数 ${\omega }\$ の素粒子や光子が持つエネルギー	${E=\hbar \omega }\$	${E=\omega }\$
アインシュタインの質量とエネルギーの方程式	${E=mc^{2}}\$	${E=m}\$
アインシュタイン方程式	${G_{\mu \nu }=8\pi \cdot {\frac {G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}\$	${G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\$
熱の運動エネルギー	${E={\frac {1}{2}}kT}\$	${E={\frac {1}{2}}T}\$
クーロンの法則	$F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$	$F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$
マクスウェルの方程式	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0\$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0\$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ クーロン力定数に $1/(4\pi \varepsilon _{0})\$ ではなく正規化された $\varepsilon _{0}\$ を使うと、 $4\pi \$ も取り除くことができる。

名称	次元	式	SIでの値^[1]
プランク時間	時間 (T)	$t_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}$	5.391247(60)×10⁻⁴⁴ s
プランク長	長さ (L)	$\ell _{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	1.616255(18)×10⁻³⁵ m
プランク質量	質量 (M)	$m_{P}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$	2.176434(24)×10⁻⁸ kg
プランク電荷	電荷 (Q)	$q_{P}={\sqrt {\hbar c4\pi \varepsilon _{0}}}$	1.875545956(41)×10⁻¹⁸ C
プランク温度	温度 (Θ)	$T_{P}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk^{2}}}}$	1.416784(16)×10³² K

名称	次元	式	SIでのおよその値
プランクエネルギー	エネルギー (ML²T⁻²)	$E_{P}=m_{P}c^{2}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}$	1.9561×10⁹ J
プランク力	力 (MLT⁻²)	$F_{P}={\frac {E_{P}}{\ell _{P}}}={\frac {c^{4}}{G}}$	1.21027×10⁴⁴ N
プランク仕事率 (?)	仕事率 (ML²T⁻³)	$P_{P}={\frac {E_{P}}{t_{P}}}={\frac {c^{5}}{G}}$	3.62831×10⁵² W
プランク密度	密度 (ML⁻³)	$\rho _{P}={\frac {m_{P}}{{\ell _{P}}^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}$	5.15500×10⁹⁶ kg/m³
プランク角周波数	周波数 (T⁻¹)	$\omega _{P}={\frac {1}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}$	1.85487×10⁴³ rad/s
プランク圧力	圧力 (ML⁻¹T⁻²)	$p_{P}={\frac {F_{P}}{{\ell _{P}}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}$	4.63309×10¹¹³ Pa
プランク電流	電流 (QT⁻¹)	$I_{P}={\frac {q_{P}}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \varepsilon _{0}}{G}}}$	3.4789×10²⁵ A
プランク電圧	電圧 (ML²T⁻²Q⁻¹)	$V_{P}={\frac {E_{P}}{q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \varepsilon _{0}}}}$	1.04295×10²⁷ V
プランクインピーダンス	電気抵抗 (ML²T⁻¹Q⁻²)	$Z_{P}={\frac {V_{P}}{I_{P}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}$	2.99792458×10¹ Ω

プランク単位系

物理学の方程式の単純化

基本プランク単位

派生プランク単位

脚注

注釈

関連項目

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