プレートトリック
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プレートトリック（英: Plate trick）とは、数学および物理学において、360度の回転では系が元の状態に戻らず、720度の回転で初期状態に戻るという概念を示すいくつかのデモンストレーションの総称である[1]。ディラックの紐トリック[2][3]、ベルトトリック、あるいはバリ島のカップトリック（バリ島のキャンドル・ダンスに登場）とも呼ばれる。
数学的には、このトリックは群 SU(2) が SO(3) の二重被覆であり、単連結であることを示すものである。それは本質的には、単位四元数が回転の群を二重に表現することを意味する[1]。詳細で直感的かつ半形式的な説明はタングロイドの記事を参照のこと。
デモンストレーション
手のひらに小さな皿を水平に乗せた状態で、腕をひねりながら2回 回転させると、皿を常に水平に保ったまま腕を元の状態に戻すことができる。最初の回転では腕がねじれるが、2回目の回転で元に戻る。これは、1回目の回転で肘の上を通過し、2回目の回転で肘の下を通過することで実現される[4][5]。
数理物理学的に、このトリックはスピノールのスピンに関する四元数的な数学を視覚的に示している[6]。これらの粒子のスピンはプレートトリックと同様に、1回の回転では元に戻らず、2回の回転で初期状態に戻る。
ベルトトリック
同じ現象はベルトとバックルを用いても実演できる。バックルの反対側の端を固定し、バックルを水平に保ったまま時計回りに360度回転させると、ベルトはねじれる。この状態では、バックルを水平かつ同方向に保ったままではねじれを解消できない。しかし驚くべきことに、さらに360度回転させ、バックルを固定端の下を通過させながら操作することで、ベルトのねじれを解消できる。[7]
数学的には、ベルトはねじれのない初期状態から回転後の最終状態まで、バックルがどのように変形されたかを記録する軌跡として機能する。固定された端は常に非回転の状態を表す。このトリックは、回転空間（SO(3)）において360度の回転を生じる経路は非回転とホモトピー的に同値ではないが、720度の回転を生じる経路は自明なホモトピー（null-homotopic）であることを示している。[1]
このベルトトリックは、一次元の古典ハイゼンベルク模型において、ブリーザー解として理論的に構成されている[8]。