ヘリーの選択定理

U を実数直線のある開部分集合とし、f_n : U → R, n ∈ N を函数列とする。次を仮定する。

• (f_n) は U にコンパクトに埋め込まれる任意の W 上の一様有界全変動（英語版）とする。すなわち、コンパクトな閉包を持つすべての集合 W ⊆ U に対して

${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\left(\left\|f_{n}\right\|_{L^{1}(W)}+\left\|{\frac {\mathrm {d} f_{n}}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}\right)<+\infty ,}$

が成り立つ。ここで微分は緩増加超函数の意味で取られる；

• (f_n) はある点において一様有界である。すなわち、ある t ∈ U に対して { f_n(t) | n ∈ N } ⊆ R は有界である。

このとき、f_n のある部分列 f_nk, k ∈ N と、局所的に有界変動であるような函数 f : U → R が存在して、次が成立する。

• f_nk は f に各点収束する；
• f_nk は L¹ において局所的に f に収束する（局所可積分函数を参照）。すなわち、U 内のすべてのコンパクトな埋め込み W に対して次が成り立つ。

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{W}{\big |}f_{n_{k}}(x)-f(x){\big |}\,\mathrm {d} x=0;}$

• また U 内のコンパクトな埋め込み W に対して、次が成り立つ。

${\displaystyle \left\|{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}\leq \liminf _{k\to \infty }\left\|{\frac {\mathrm {d} f_{n_{k}}}{\mathrm {d} t}}\right\|_{L^{1}(W)}.}$