テンソル積

成分表示

各${\displaystyle V^{(i)}}$が有限次元ベクトル空間であるとし、${\displaystyle e_{1}^{(i)},\ldots ,e_{n_{i}}^{(i)}}$を${\displaystyle V^{(i)}}$の基底とすると、２つのベクトル空間のテンソル積${\displaystyle V^{(1)}\otimes V^{(2)}}$において双線形性を用いる事により、任意のテンソル${\displaystyle \tau \in V^{(1)}\otimes V^{(2)}}$は必ず

${\displaystyle \tau =\sum _{i,j}a^{i,j}e_{i}^{(1)}\otimes e_{j}^{(2)}}$ where ${\displaystyle a^{i,j}\in K}$

と書き表す事ができる事を証明できる。したがって各${\displaystyle V^{(i)}}$の基底を固定した場合、テンソル${\displaystyle \tau \in V^{(1)}\otimes V^{(2)}}$は行列${\displaystyle (a^{i,j})_{i,j}}$と１対１に対応する。

より一般に${\displaystyle N}$個のテンソル積${\displaystyle V^{(1)}\otimes \cdots \otimes V^{(N)}}$の元${\displaystyle \tau }$は

${\displaystyle \sum _{i_{1},\ldots ,i_{N}}a^{i_{1},\ldots ,i_{N}}e_{i_{1}}^{(1)}\otimes \cdots \otimes e_{i_{N}}^{(N)}}$

と書き表す事ができる事を証明できる。特に各${\displaystyle V^{(i)}}$が有限次元であるとき、${\displaystyle V^{(1)}\otimes \cdots \otimes V^{(N)}}$の次元は各${\displaystyle V^{(i)}}$の次元の積に等しい。

${\displaystyle \tau }$を別の基底で表したときの係数を${\displaystyle b^{j_{1}\ldots ,j_{N}}}$とすると、${\displaystyle a^{i_{1}\ldots ,i_{N}}}$と${\displaystyle b^{j_{1}\ldots ,j_{N}}}$は基底変換による変換則で関係づけられる。したがってこれらの値は本稿の冒頭で述べたテンソルの4つの意味の3番目の意味のテンソルである。

なお、${\displaystyle V^{(i)}}$として何らかのベクトル空間の双対空間を用いることもあり、その場合には${\displaystyle a^{i_{1}\ldots ,i_{m}}}$添字を上ではなく下に書く習慣である（代わりに基底の添字を上に書く）。

定義

簡単のため２つのベクトル空間のテンソル積を述べるが、${\displaystyle m}$個のベクトル空間のテンソル積も同様に定義できる。また本章で述べた定義と同様にして環上の加群のテンソル積も定義できる。

${\displaystyle K}$を体とし、${\displaystyle V}$、${\displaystyle W}$を${\displaystyle K}$上のベクトル空間とする^{[注釈 1]}。${\displaystyle v\in V}$、${\displaystyle w\in W}$に対し

${\displaystyle v\boxtimes w}$

という記号を用意し^{[注釈 2]}、このような記号の形式的な（有限個の）線形和

${\displaystyle \sum _{i,j}a^{i,j}v_{i}\boxtimes w_{j}}$ …(C1)

全体の集合を${\displaystyle V\boxtimes W}$と書くと、${\displaystyle V\boxtimes W}$は自然に${\displaystyle K}$上のベクトル空間をなす。

${\displaystyle S\subset V\boxtimes W}$を以下のいずれかの形で書ける元全体の集合とする：

1. ${\displaystyle (av+bv')\boxtimes w-(a(v\boxtimes w)+b(v'\boxtimes w))}$ …(C2)
2. ${\displaystyle v\boxtimes (aw+bw')-(a(v\boxtimes w)+b(v\boxtimes w'))}$ …(C3)

ここで${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$は${\displaystyle K}$の任意の元であり、${\displaystyle v}$、${\displaystyle v'}$は${\displaystyle V}$の任意の元であり、${\displaystyle w}$、${\displaystyle w'}$は${\displaystyle W}$の任意の元である。

３つ以上のベクトル空間のテンソル積に関しても同様に定義できる。

基本的性質

添字の上下とアインシュタインの縮約記法

準備：多重線形写像

普遍性による定義を与えるための準備として、多重線型写像の概念を導入する。可読性の観点からここでは双線形写像（＝空間が２つの場合の多重線型写像）の定義しか与えないが、多重線型写像も同様に定義できる。

多重線形写像（英: multilinear map）は上述の定義を有限個のベクトル空間からの写像に自然に拡張したものである。

双線形写像の具体例としては、ベクトル空間の定義体${\displaystyle K}$が実数体${\displaystyle \mathbb {R} }$であり${\displaystyle V=W=\mathbb {R} ^{n}}$、${\displaystyle Z=\mathbb {R} }$とし、${\displaystyle \varphi }$として内積

${\displaystyle \varphi ~:~(a,b)\in V\times W\to \sum _{i}a_{i}b_{i}\in Z}$

を考えると${\displaystyle \varphi }$は双線形写像になる。ここで${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$、${\displaystyle b=(b_{1},\ldots ,b_{n})}$である。この例に限らず、対称双線型形式はいずれも${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$から${\displaystyle \mathbb {R} }$への双線形写像である。

定義のアイデア

定義を述べる前にその直観的意味を説明する。

${\displaystyle h~:~V\times W\to Z}$

を任意の双線形写像とし、

${\displaystyle v\circledast w:=h(v,w)}$

と定義すると、${\displaystyle v\circledast w}$は${\displaystyle h}$の双線形写像から

1. ${\displaystyle (av+bv')\circledast w=av\circledast w+bv'\circledast w}$
2. ${\displaystyle v\circledast (aw+bw')=av\circledast w+bv\circledast w'}$

というテンソル積と同様の性質を満たす。したがって${\displaystyle h}$の像${\displaystyle h(V\times W)\subset Z}$は${\displaystyle V}$と${\displaystyle W}$のテンソル積に類似したものになる。

しかしこのようなテンソル積の類似物は真のテンソル積よりも「小さい」ものになる。実際、前節で述べた内積の例だと、${\displaystyle h(V\times W)}$は1次元しかない。したがってこのようなテンソル積の類似物の中で「最も大きい」ものを真のテンソル積${\displaystyle V\otimes W}$であると定義する。

この「最も大きい」は上述したような任意の${\displaystyle h}$および${\displaystyle Z}$に対し、${\displaystyle \varphi (v,w):=v\otimes w}$としたとき、写像${\displaystyle {\tilde {h}}~:~V\otimes W\to Z}$で

${\displaystyle h={\tilde {h}}\circ \varphi }$

であるもの、すなわち任意の${\displaystyle v\in V}$、${\displaystyle w\in W}$に対し

${\displaystyle v\circledast w={\tilde {h}}(v\otimes w)}$

であるものが一意に存在する事を持って定義する。（なぜ「一意」なのかは次節で説明する）。

どのように${\displaystyle h}$、${\displaystyle Z}$を選んでも${\displaystyle h(V\times W)}$の元である${\displaystyle v\circledast w}$が必ず${\displaystyle V\otimes W}$の元である${\displaystyle v\otimes w}$で表現できるのであるから、${\displaystyle V\otimes W}$が「最も大きい」ものであるといえる。

定義

テンソル積を以下のように定義する：

定義 (普遍性によるテンソル積の定義^[5]) ― 

ベクトル空間${\displaystyle V\otimes W}$と双線形写像${\displaystyle \varphi ~:~V\times W\to V\otimes W}$の組${\displaystyle (V\otimes W,\varphi )}$が${\displaystyle V}$と${\displaystyle W}$のテンソル積であるとは、任意のベクトル空間${\displaystyle Z}$と任意の双線形写像${\displaystyle h~:~V\times W\to Z}$に対し、ある線形写像${\displaystyle {\tilde {h}}~:~V\otimes W\to Z}$が一意に存在し、

${\displaystyle h={\tilde {h}}\circ \varphi }$

が成立する事を言う。

${\displaystyle V\otimes W}$の元をテンソルという。さらに${\displaystyle v\in V}$、${\displaystyle w\in W}$に対し、

${\displaystyle v\otimes w:=\varphi (v,w)}$

と定義し、${\displaystyle v}$と${\displaystyle w}$のテンソル積という。

紛れがなければ${\displaystyle \varphi }$を省略し、${\displaystyle V\otimes W}$を${\displaystyle V}$と${\displaystyle W}$のテンソル積であるという。

上述の定義に関して２つ注意点を述べる。第一に、上記の定義において写像${\displaystyle {\tilde {h}}}$が一意であるという条件は${\displaystyle V\otimes W}$が${\displaystyle v\otimes w}$という形の元の有限和として書ける事を保証するために必要である。実際、「一意」という条件を外すのであれば、そのような形に書けない元をも含むような、${\displaystyle V\otimes W}$よりもさらに大きい空間が条件を満たしてしまう。例えば${\displaystyle ((V\otimes W)\times K,\varphi ')}$も上記のテンソル積の条件を満たす事を容易に示せる。ここで${\displaystyle \varphi '}$は${\displaystyle \varphi '(v,w)=(\varphi (v,w),0)}$により定義される写像である。

第二に、３個以上のベクトル空間のテンソル積も上の定義と同様に定義できるのみならず、環上の加群のテンソル積、位相ベクトル空間のテンソル積、ヒルベルト空間のテンソル積なども上の定義で「ベクトル空間」となっているところをそれぞれ加群、位相ベクトル空間、ヒルベルト空間に置き換える事で定義できる。（環上の加群の場合はさらに定義体${\displaystyle K}$を環に置き換える必要がある）。

なお、こうした位相ベクトル空間やヒルベルト空間におけるテンソル積は、これらの空間を位相や距離のないベクトル空間とみなしたときのテンソル積と同じものになるとは限らない。例えば２つのヒルベルト空間の（ヒルベルト空間としての）テンソル積は、これらの空間を距離のないベクトル空間としてテンソル積を取ったもの自身ではなく、それを完備化したものに一致する。

存在性と実質的な一意性

線型写像のテンソル積

${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$をベクトル空間とし、${\displaystyle f~:~V\to X}$、${\displaystyle g~:~W\to Y}$を線形写像とし、${\displaystyle f\times g~:~(v,w)\in V\times W\to (f(v),g(w))\in X\times Y}$とし、さらに${\displaystyle t~:~(x,y)\in X\times Y\mapsto x\otimes y\in X\otimes Y}$とする。

${\displaystyle Z=X\otimes Y}$と合成写像

${\displaystyle h~:~V\times W{\overset {f\times g}{\to }}X\times Y{\overset {t}{\to }}X\otimes Y}$

に対して${\displaystyle V\otimes W}$の普遍性による定義を用いることにより、線形写像${\displaystyle {\tilde {h}}~:~V\otimes W\to X\otimes Y}$で

${\displaystyle h(v,w)={\tilde {h}}(v\otimes w)}$

が任意の${\displaystyle (v,w)\in V\times W}$に対して成立するものを構成できる。

３つ以上のテンソル積のケースも同様に定義できる。

${\displaystyle f\otimes g}$は具体的には以下のような写像になる：

${\displaystyle f\otimes g~:~\sum _{i}v_{i}\otimes w_{i}\in V\otimes W\mapsto \sum _{i}f(v_{i})\otimes g(w_{i})\in X\otimes Y}$

圏論的には、ベクトル空間の圏を${\displaystyle \mathrm {Vec} }$とすると、ベクトル空間のテンソル積を取る行為、線形写像のテンソル積を取る行為をそれぞれ${\displaystyle \mathrm {Vec} \times \mathrm {Vec} }$の対象と射に${\displaystyle \mathrm {Vec} }$の対象と射を対応させる行為だとみなす事で、テンソル積${\displaystyle \mathrm {Vec} \times \mathrm {Vec} }$から${\displaystyle \mathrm {Vec} }$への双函手（英語版）であるとみなせる。

線形写像、多重線型写像

${\displaystyle V}$、${\displaystyle W}$を${\displaystyle K}$上の有限次元ベクトル空間とし、${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$を${\displaystyle V}$から${\displaystyle W}$への線形写像全体の空間とする。このとき次が成立する。

具体的には、${\displaystyle (a,w)\in V^{*}\times W}$に対し線形写像

${\displaystyle v\in V\mapsto a(v)w\in W}$

を対応させる写像を${\displaystyle \Phi ~:~~V^{*}\times W\to \mathrm {Hom} (V,W)}$とすると、${\displaystyle \Phi }$自身が${\displaystyle (a,w)}$に関して双線形写像になる。

なお、上では${\displaystyle V}$、${\displaystyle W}$が双方とも有限次元である事を仮定したが、実は${\displaystyle V}$、${\displaystyle W}$のいずれか一方のみが有限次元の場合も上記の定理は成立する事が知られている^[7]。

${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{N},W}$を${\displaystyle K}$上の有限次元ベクトル空間とすると、上と同様の証明により以下が成立する事も証明できる：

さらに${\displaystyle V}$、${\displaystyle W}$、${\displaystyle U}$をいずれも${\displaystyle K}$上のベクトル空間とすると、以下も示す事ができる：

具体的には${\displaystyle F\in \mathrm {Hom} (V\otimes W,U)}$と${\displaystyle v\in V}$に対し、

${\displaystyle F_{v}~:~w\in W\mapsto F(v\otimes w)\in U}$

と定義すると${\displaystyle F_{v}\in \mathrm {Hom} (W,U)}$であり、さらに

${\displaystyle F\in \mathrm {Hom} (V\otimes W,U)\mapsto (v\mapsto F_{v})\in \mathrm {Hom} (V,\mathrm {Hom} (W,U))}$

が自然な同型写像になる^[8]。圏論の言葉で言えば、これはHom函手の左随伴性に相当する^[8]。

係数拡大

${\displaystyle V}$を体${\displaystyle K}$上のベクトル空間とし、${\displaystyle L}$を${\displaystyle K}$の拡大体とするとき、

${\displaystyle V_{L}:=L\otimes _{K}V}$

とすると、${\displaystyle V_{L}}$には自然に${\displaystyle L}$上ベクトル空間の構造が入る^[7]。ここでテンソル積は${\displaystyle L}$を${\displaystyle K}$上ベクトル空間とみなしたときのものである。${\displaystyle V_{L}}$を${\displaystyle V}$の${\displaystyle L}$への係数拡大という。

具体的には${\displaystyle V_{L}}$の加法は${\displaystyle K}$上ベクトル空間としての加法であり、${\displaystyle L}$の元によるスカラー倍は

${\displaystyle a\cdot (b\otimes v):=(ab)\otimes v}$

により定義する^[7]。ここで${\displaystyle a,b\in L}$、${\displaystyle v\in V}$である。

係数拡大について２つ注意を述べる。第一に、${\displaystyle \{e_{\lambda }\}_{\lambda }}$を${\displaystyle V}$の基底とすると、${\displaystyle \{1\otimes _{K}e_{\lambda }\}_{\lambda }}$が${\displaystyle V_{L}}$の基底になることを容易に示せるので、${\displaystyle V}$の${\displaystyle K}$上の次元と${\displaystyle V_{L}}$の${\displaystyle L}$上の次元は等しい。

第二に係数拡大は環上の加群に対しても同様にできるが、その中でも特に（上述の記号で言えば）環${\displaystyle K}$が整域であるとき${\displaystyle L}$として${\displaystyle K}$の商体を取る事で加群から商体上のベクトル空間を作る事ができる。

群の表現のテンソル積

${\displaystyle G}$を群とし、${\displaystyle K}$を体とし、${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{N}}$を${\displaystyle K}$上ベクトル空間とし、${\displaystyle G}$の${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{N}}$への表現

${\displaystyle \rho _{i}~:~G\to GL(V_{i})\quad (i=1,\ldots ,N)}$

が与えられたとき、${\displaystyle g\in G}$に対し${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{N}}$上の線形自己同型写像

${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{N}\mapsto \rho _{1}(g)v_{1}\otimes \dotsb \otimes \rho _{N}(g)v_{N}}$

を対応させる事で、

${\displaystyle G}$の${\displaystyle V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{N}}$への表現

${\displaystyle \rho _{1}\otimes \dotsb \otimes \rho _{N}~:~G\to GL(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{N})}$

を構成できる。この${\displaystyle \rho _{1}\otimes \dotsb \otimes \rho _{n}}$を表現${\displaystyle \rho _{1},\ldots ,\rho _{N}}$のテンソル積と呼ぶ。

テンソル空間

ベクトル空間${\displaystyle V}$とその双対空間${\displaystyle V^{*}}$をそれぞれ${\displaystyle m}$個、${\displaystyle n}$個テンソル積してできるベクトル空間

${\displaystyle T_{n}^{m}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{m{\text{ copies}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{n{\text{ copies}}}}$