ベジェ曲面

ベジェ曲面は1962年にフランスの技術者ピエール・ベジェによって初めて定義され、自動車のボディ設計に用いられた ^[1]。 ベジェ曲面の次数は任意だが、バイキュービック（双3次）ベジェ曲面は、一般的にほとんどの用途において十分な自由度を備えている。

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与えられた次数 (n, m) のベジェ曲面は、(n + 1)(m + 1) 個の制御点の集合 k_i,j ただし i = 0, ..., n および j = 0, ..., m によって定義される。 これは、単位正方形を、k_i,j を含む空間内に埋め込まれた滑らかで連続的な曲面に写像する。 例えば、k_i,j がすべて4次元空間内の点である場合、曲面も4次元空間内に存在することになる。

2次元のベジェ曲面は、パラメトリック曲面（英語: parametric surface）として定義できる。 点 p の位置は、パラメトリック座標 u, v の、単位正方形の範囲内で評価される関数として、次のように与えられる ^[2]。

${\displaystyle \mathbf {p} (u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}B_{i}^{n}(u)\,B_{j}^{m}(v)\,\mathbf {k} _{i,j}}$

ただし、

${\displaystyle B_{i}^{n}(u)={n \choose i}u^{i}(1-u)^{n-i}}$

は基底バーンスタイン多項式であり、

${\displaystyle {n \choose i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}}}$

は二項係数である。

• すべての線形変換および平行移動に対して、制御点とベジェ曲面は同じように変換される。
• (u, v) 空間における u = 定数 および v = 定数 の線、特に、(u, v) 単位正方形を変形した4辺は、すべてベジェ曲線である。
• ベジェ曲面は、その制御点の凸包内に完全に収まるため、任意の直交座標系においても制御点の外接多角形の中に完全に収まる。
• 変形された単位正方形の角に対応する曲面上の点は、制御点のうちの4つと一致する。
• ただし、ベジェ曲面は通常、それら以外の制御点を通過しない。

ベジェ曲面の最も一般的な用途は、バイキュービックパッチ (m = n = 3) の網目構造（英語:nets）である。 ひとつのバイキュービックパッチの形状は、16個の制御点の集合によって完全に定義される。 通常、ベジェ曲線が連結されてB-スプライン曲線を形成するのと同様の方法で、これらのパッチは連結され、Bスプライン曲面を形成する。

より単純なベジェ曲面は、双2次パッチ（英語: biquadratic patches）(m = n = 2)、あるいはベジェ三角形（英語: Bézier triangle）から構成される。