ボルンの規則

縮退が無い場合

規格化された状態ベクトル(または波動関数)${\displaystyle |\psi \rangle }$で表される系において、エルミート演算子${\displaystyle {\hat {A}}}$で表される物理量（オブザーバブル)を測定した場合を考える。ただし${\displaystyle {\hat {A}}}$の固有値は離散的${\displaystyle \lambda _{i}}$である、つまり${\displaystyle {\hat {A}}}$は離散スペクトル を持つとする。また規格化された固有ベクトルを${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$とする。

${\displaystyle {\hat {A}}|\lambda _{i}\rangle =\lambda _{i}|\lambda _{i}\rangle }$

このときボルンの規則は以下のように書ける。

• 測定値は${\displaystyle {\hat {A}}}$の固有値${\displaystyle \lambda \ }$のいずれかに限られる。
• ${\displaystyle {\hat {P_{i}}}\equiv |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|}$とすると、測定値${\displaystyle \lambda _{i}}$が得られる確率は${\displaystyle \langle \psi |{\hat {P_{i}}}|\psi \rangle =\langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle =|\langle \lambda _{i}|\psi \rangle |^{2}=|\psi (\lambda _{i})|^{2}}$である。

ここで${\displaystyle {\hat {P_{i}}}}$は「${\displaystyle {\hat {A}}}$の固有値${\displaystyle \lambda _{i}}$に属する固有空間への射影演算子」と呼ばれる。 複素数${\displaystyle \psi (\lambda _{i})\equiv \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$は「測定値${\displaystyle \lambda _{i}}$が得られる確率振幅」または「物理量${\displaystyle {\hat {A}}}$表示の波動関数」と呼ばれる。

縮退がある場合

固有値${\displaystyle \lambda _{i}}$に${\displaystyle m}$個の固有ベクトル${\displaystyle \{|\lambda _{i},1\rangle ,|\lambda _{i},2\rangle ,\dots ,|\lambda _{i},m\rangle \}}$が対応しているとき「固有値${\displaystyle \lambda _{i}}$に${\displaystyle m}$重の縮退がある」という。このとき固有値${\displaystyle \lambda _{i}}$の射影演算子を

${\displaystyle {\hat {P_{i}}}\equiv |\lambda _{i},1\rangle \langle \lambda _{i},1|+|\lambda _{i},2\rangle \langle \lambda _{i},2|+\dots +|\lambda _{i},m\rangle \langle \lambda _{i},m|}$

とすると、縮退がない場合と同じボルンの規則を使って、測定値${\displaystyle \lambda _{i}}$が得られる確率を計算することができる。縮退が無い場合はある固有値に属する固有空間は1次元となるが、縮退がある場合は多次元となる。