ボルン近似

運動量がpで、外向き(+)または内向き(−)の境界条件をみたす散乱状態${\displaystyle \vert {\psi ^{(\pm )}}\rangle }$のリップマン‐シュウィンガー方程式は以下のように表せる。

${\displaystyle \vert {\psi ^{(\pm )}}\rangle =\vert {\phi ^{\circ }}\rangle +{\hat {G}}^{\circ }(E_{p}\pm i\epsilon )V\vert {\psi ^{(\pm )}}\rangle }$

ここで${\displaystyle {\hat {G}}^{\circ }}$は自由粒子のグリーン関数、 ${\displaystyle \epsilon }$は正の無限小量、Vは散乱ポテンシャル、${\displaystyle \vert {\phi ^{\circ }}\rangle }$は自由粒子の状態ベクトルで、入射波とも呼ばれる。

ボルン近似によって、この方程式は以下のようになる。

${\displaystyle \vert {\psi ^{(\pm )}}\rangle =\vert {\phi ^{\circ }}\rangle +{\hat {G}}^{\circ }(E_{p}\pm i0)V\vert {\phi ^{\circ }}\rangle }$

この式は、右辺が未知の${\displaystyle \vert {\psi ^{(\pm )}}\rangle }$に依存しないので容易に解ける。