散乱振幅

散乱過程が定常的であると見なせる場合(弾性散乱など)を考える． 散乱状態の波動関数は、入射平面波と外向き球面波の重ね合わせであると考える。

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}}$

ここで、 ${\displaystyle \mathbf {r} \equiv \{x,y,z\}}$はベクトル座標、 ${\displaystyle r\equiv |\mathbf {r} |}$はベクトル${\displaystyle \mathbf {r} }$の長さ、 ${\displaystyle e^{ikz}\ }$ は${\displaystyle z\ }$軸方向に入射した波数ベクトル ${\displaystyle k\ }$の平面波、 ${\displaystyle e^{ikr}/r\ }$ は外向き球面波、${\displaystyle \theta \ }$ は散乱角、${\displaystyle f(\theta )\ }$ は散乱振幅である。

散乱振幅の次元は長さである。

微分散乱断面積は、以下で表される。

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta )|^{2}}$

低エネルギー領域では、散乱振幅は散乱長によって決定される。

部分波展開では、散乱振幅は、部分波の和として表される^[3]。

${\displaystyle f(\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)f_{l}(k)P_{l}(\cos(\theta ))}$

ここで${\displaystyle P_{l}(\cos(\theta ))\ }$はルジャンドル多項式、${\displaystyle f_{l}(k)\ }$は部分振幅と呼ばれる。

部分振幅はS行列要素${\displaystyle S_{l}=e^{2i\delta _{l}}}$と散乱による位相のずれ${\displaystyle \delta _{l}\ }$を用いて、以下のように表現できる。

${\displaystyle f_{l}={\frac {S_{l}-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{l}}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{l}}\sin \delta _{l}}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{l}-ik}}}$

X線の散乱長は、トムソン散乱長もしくは古典電子半径 ${\displaystyle r_{0}}$ である。

中性子散乱過程は、${\displaystyle b}$ で記述されるコヒーレント中性子散乱長を含んでいる。

量子力学的アプローチは、S行列形式で行う。